Determine se a integral imprópria é convergente ou divergente. Se for convergente, calculea.
{ }^{*} \int_{0}^{+\infty} \ln x d x

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a integral imprópria
\int_{0}^{+\infty} \ln x \, dx
converge ou diverge, e em caso de convergência, calcular seu valor. O conteúdo envolvido é o estudo de integrais impróprias, que requer separar os possíveis pontos problemáticos (aqui em x=0 e x\to+\infty) e verificar cada um.

Passo 2

Vamos decompor
\int_{0}^{+\infty} \ln x \, dx = \int_{0}^{1} \ln x \, dx + \int_{1}^{+\infty} \ln x \, dx.
Isso nos ajuda a tratar separadamente o comportamento perto de 0 e em +\infty.

Passo 3

Calculemos primeiro
\int_{0}^{1} \ln x \, dx.
A primitiva de \ln x é
\int \ln x \, dx = x\ln x - x + C.
Portanto,
\int_{\varepsilon}^{1} \ln x \, dx = \bigl[x\ln x - x\bigr]_{\varepsilon}^{1} = \bigl(1\cdot0 -1\bigr) - \bigl(\varepsilon\ln\varepsilon -\varepsilon\bigr).
Como \displaystyle\lim_{\varepsilon\to0^+}\varepsilon\ln\varepsilon=0 e \lim_{\varepsilon\to0^+}\varepsilon=0, obtemos
\int_{0}^{1}\ln x \, dx = -1.
Logo este pedaço é convergente.

Passo 4

Agora calculemos
\int_{1}^{+\infty} \ln x \, dx = \lim_{R\to+\infty}\int_{1}^{R}\ln x \, dx = \lim_{R\to+\infty} \bigl[x\ln x - x\bigr]_{1}^{R} = \lim_{R\to+\infty}\bigl(R\ln R - R +1\bigr).
Como R\ln R\to+\infty quando R\to+\infty, esse limite diverge para +\infty.

Passo 5

A parte de 0 a 1 converge, mas a parte de 1 a +\infty diverge. Assim, a integral imprópria original diverge.

Resposta

A integral diverge.

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