Determine se a integral imprópria é convergente ou divergente. Se for convergente, calculea.
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a integral imprópria
converge ou diverge, e em caso de convergência, calcular seu valor. O conteúdo envolvido é o estudo de integrais impróprias, que requer separar os possíveis pontos problemáticos (aqui em
e
) e verificar cada um.
Passo 2
Vamos decompor
Isso nos ajuda a tratar separadamente o comportamento perto de
e em
.
Passo 3
Calculemos primeiro
A primitiva de
é
Portanto,
Como
e
, obtemos
Logo este pedaço é convergente.
Passo 4
Agora calculemos
Como
quando
, esse limite diverge para
.
Passo 5
A parte de
a
converge, mas a parte de
a
diverge. Assim, a integral imprópria original diverge.
Resposta
A integral diverge.