Encontre as equações da reta tangente e normal à curva y=f(x) no ponto de abscissa indicada.
y=x^{2}-2 x+1 ; x=-2

Passo 1

O enunciado pede as equações da reta tangente e da reta normal à curva
y = x^2 - 2x + 1
no ponto cuja abscissa é x = -2. Para isso a gente vai precisar de:
  1. calcular a derivada f'(x) para encontrar o coeficiente angular da tangente;
  2. avaliar f(-2) para obter o ponto de tangência;
  3. usar a forma ponto-inclinação para escrever a equação da reta;
  4. obter o coeficiente da normal como o negativo do inverso da tangente.

Passo 2

A derivada de
f(x) = x^2 - 2x + 1
é dada pelas regras básicas:\n
– derivada de x^2 é 2x,\n
– derivada de -2x é -2,\n
– derivada de 1 é 0.\n
Logo,
f'(x) = 2x - 2.

Passo 3

Agora avaliamos a derivada em x = -2:
f'(-2) = 2(-2) - 2 = -4 - 2 = -6.
Esse é o coeficiente angular da reta tangente. Em seguida, calculamos o valor de y no ponto:
y_0 = f(-2) = (-2)^2 - 2(-2) + 1 = 4 + 4 + 1 = 9.
Portanto, o ponto de tangência é P(-2,9) e a inclinação da tangente é m_t = -6.

Passo 4

A equação da reta tangente em forma ponto-inclinação é
y - y_0 = m_t\,(x - x_0).
Substituindo x_0 = -2, y_0 = 9 e m_t = -6,
y - 9 = -6\,(x + 2).
Se quisermos isolar y,
y = -6x - 12 + 9 = -6x - 3.

Passo 5

A reta normal é perpendicular à tangente, então seu coeficiente angular é
m_n = -\frac{1}{m_t} = -\frac{1}{-6} = \frac{1}{6}.
Usando novamente a forma ponto-inclinação com P(-2,9):
y - 9 = \frac{1}{6}\,(x + 2).
Isolando y:
y = \frac{1}{6}x + \frac{2}{6} + 9 = \frac{1}{6}x + \frac{1}{3} + 9 = \frac{1}{6}x + \frac{28}{3}.

Resposta

Equação da reta tangente:
y = -6x - 3.
Equação da reta normal:
y = \frac{1}{6}x + \frac{28}{3}.

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