Encontre as equações da reta tangente e normal à curva
no ponto de abscissa indicada.
Passo 1
O enunciado pede as equações da reta tangente e da reta normal à curva
no ponto cuja abscissa é
. Para isso a gente vai precisar de:
- calcular a derivada
para encontrar o coeficiente angular da tangente; - avaliar
para obter o ponto de tangência; - usar a forma ponto-inclinação para escrever a equação da reta;
- obter o coeficiente da normal como o negativo do inverso da tangente.
Passo 2
A derivada de
é dada pelas regras básicas:\n
– derivada de é
,\n
– derivada de é
,\n
– derivada de é
.\n
Logo,
– derivada de
– derivada de
– derivada de
Logo,
Passo 3
Agora avaliamos a derivada em
:
Esse é o coeficiente angular da reta tangente. Em seguida, calculamos o valor de
no ponto:
Portanto, o ponto de tangência é
e a inclinação da tangente é
.
Passo 4
A equação da reta tangente em forma ponto-inclinação é
Substituindo
,
e
,
Se quisermos isolar
,
Passo 5
A reta normal é perpendicular à tangente, então seu coeficiente angular é
Usando novamente a forma ponto-inclinação com
:
Isolando
:
Resposta
Equação da reta tangente:
Equação da reta normal: