Calcule
, onde
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos a função $ f(x) = x^{8} - 3 \sqrt{x} + \frac{1}{x^{2} \sqrt{x}} + 5\left(x^{2}+1\right) \ln x $ e precisamos encontrar a derivada dela, ou seja, $ f^{\prime}(x) $. Para resolver isso, vamos usar as regras básicas de derivação: derivada de potências, derivada de raízes, derivada de logaritmo natural e a regra do produto.
Passo 2
Vamos começar derivando o primeiro termo: $ x^{8} $.
Sabemos que a derivada de $ x^{n} $ é $ n \cdot x^{n-1} $.
Então, derivando $ x^{8} $:
Passo 3
Agora, vamos derivar o segundo termo: $ -3 \sqrt{x} $.
Primeiro, reescrevemos a raiz como potência: $ \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}} $.
Aplicando a regra da potência:
Passo 4
O terceiro termo é $ \frac{1}{x^{2} \sqrt{x}} $.
Vamos simplificar a expressão primeiro:
Agora, derivamos usando a regra da potência:
Passo 5
Por fim, temos o quarto termo: $ 5\left(x^{2}+1\right) \ln x $.
Aqui precisamos usar a regra do produto, que diz que a derivada de $ u \cdot v $ é $ u’ \cdot v + u \cdot v’ $.
Vamos definir:
- $ u = 5(x^{2} + 1) $
- $ v = \ln x $
Primeiro, derivamos $ u $:
E derivamos $ v $:
Agora aplicamos a regra do produto:
Resposta
Juntando todas as derivadas que encontramos, a derivada de $ f(x) $ é: