Calcule f^prime(x), onde f(x)=x^8-3 raizx+1x^2 raizx+5(x^2+1) ln x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a função $ f(x) = x^{8} - 3 \sqrt{x} + \frac{1}{x^{2} \sqrt{x}} + 5\left(x^{2}+1\right) \ln x $ e precisamos encontrar a derivada dela, ou seja, $ f^{\prime}(x) $. Para resolver isso, vamos usar as regras básicas de derivação: derivada de potências, derivada de raízes, derivada de logaritmo natural e a regra do produto.

Passo 2

Vamos começar derivando o primeiro termo: $ x^{8} $.
Sabemos que a derivada de $ x^{n} $ é $ n \cdot x^{n-1} $.
Então, derivando $ x^{8} $:
x^8

Passo 3

Agora, vamos derivar o segundo termo: $ -3 \sqrt{x} $.
Primeiro, reescrevemos a raiz como potência: $ \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}} $.
Aplicando a regra da potência:
-3 raizx

Passo 4

O terceiro termo é $ \frac{1}{x^{2} \sqrt{x}} $.
Vamos simplificar a expressão primeiro:
1x^2 raizx
Agora, derivamos usando a regra da potência:
1x^2 raizx = x^-2 cdot x^-12 = x^-52

Passo 5

Por fim, temos o quarto termo: $ 5\left(x^{2}+1\right) \ln x $.
Aqui precisamos usar a regra do produto, que diz que a derivada de $ u \cdot v $ é $ u’ \cdot v + u \cdot v’ $.
Vamos definir:
  • $ u = 5(x^{2} + 1) $
  • $ v = \ln x $
Primeiro, derivamos $ u $:
5(x^2+1) ln x
E derivamos $ v $:
u cdot v
Agora aplicamos a regra do produto:
u' cdot v + u cdot v'
u = 5(x^2 + 1)

Resposta

Juntando todas as derivadas que encontramos, a derivada de $ f(x) $ é:
f(x)

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