O movimento de uma mola sujeita a uma força de atrito ou a uma força de amortecimento (tal como o amortecedor de um carro) é frequentemente modelado pelo produto de uma função exponencial e uma função seno ou cosseno. Suponha que a equação de movimento de um ponto nessa mola seja s(t)=2 e^-1,5 t sen(2 pi t), onde s é medido em centimetros e t em segundos. Determine uma expressão para a aceleração após t segundos.

Passo 1

O enunciado diz que a posição é dada por s(t)=2e^-1,5tsin(2pi t). O conteúdo aqui é derivada de um produto de funções (regra do produto) e derivada de funções compostas (regra da cadeia). Para achar a aceleração precisamos da segunda derivada s''(t).

Passo 2

Primeiro calculamos a velocidade v(t)=s'(t). Aplicando a regra do produto em s(t)=2l(e^-1,5tr)l(sin(2pi t)r) temos:
v(t)=s'(t)=2l(e^-1,5tr)'sin(2pi t)+2e^-1,5tl(sin(2pi t)r)'

Passo 3

Sabendo que (e^-1,5t)'=-1,5e^-1,5t e (sin(2pi t))'=2picos(2pi t), obtemos:
v(t)=2l(-1,5e^-1,5tr)sin(2pi t)+2e^-1,5tl(2picos(2pi t)r)

Passo 4

Agrupando fatores:
v(t)=e^-1,5tl(-3sin(2pi t)+4picos(2pi t)r)

Passo 5

Agora derivamos mais uma vez para achar a aceleração a(t)=s''(t)=v'(t). Usamos novamente regra do produto em
v(t)=e^-1,5t,A(t),onde A(t)=-3sin(2pi t)+4picos(2pi t)

Passo 6

Temos
$$a(t)=e{-1,5t},’,A(t)+e{-1,5t},A’(t).
$$

Passo 7

Como (e^-1,5t)'=-1,5e^-1,5t e
A'(t)=-3cdot2picos(2pi t)+4picdot(-2pi)sin(2pi t)=-6picos(2pi t)-8pi^2sin(2pi t),

Passo 8

então
$$a(t)= -1,5e^{-1,5t}\bigl(-3\sin(2\pi t)+4\pi\cos(2\pi t)\bigr)+e^{-1,5t}\bigl(-6\pi\cos(2\pi t)-8\pi^2\sin(2\pi t)\bigr).
$$

Passo 9

Fatorando e^-1,5t e somando termos semelhantes chegamos à expressão final. Vejamos a combinação dos coeficientes: o termo em sin(2pi t) fica 4,5-8pi^2 e o termo em cos(2pi t) fica -12pi.

Resposta

a(t)=e^-1,5tl((4,5-8pi^2)sin(2pi t)-12picos(2pi t)r)

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