O movimento de uma mola sujeita a uma força de atrito ou a uma força de amortecimento (tal como o amortecedor de um carro) é frequentemente modelado pelo produto de uma função exponencial e uma função seno ou cosseno. Suponha que a equação de movimento de um ponto nessa mola seja
, onde
é medido em centimetros e
em segundos. Determine uma expressão para a aceleração após
segundos.
Passo 1
O enunciado diz que a posição é dada por
. O conteúdo aqui é derivada de um produto de funções (regra do produto) e derivada de funções compostas (regra da cadeia). Para achar a aceleração precisamos da segunda derivada
.
Passo 2
Primeiro calculamos a velocidade
. Aplicando a regra do produto em
temos:
Passo 3
Sabendo que
e
, obtemos:
Passo 4
Agrupando fatores:
Passo 5
Agora derivamos mais uma vez para achar a aceleração
. Usamos novamente regra do produto em
Passo 6
Temos
$$a(t)=e{-1,5t},’,A(t)+e{-1,5t},A’(t).
$$
Passo 7
Como
e
Passo 8
então
$$a(t)= -1,5e^{-1,5t}\bigl(-3\sin(2\pi t)+4\pi\cos(2\pi t)\bigr)+e^{-1,5t}\bigl(-6\pi\cos(2\pi t)-8\pi^2\sin(2\pi t)\bigr).
$$
Passo 9
Fatorando
e somando termos semelhantes chegamos à expressão final. Vejamos a combinação dos coeficientes: o termo em
fica
e o termo em
fica
.