Calcule a derivada de segunda ordem da função f dada por:
f(x)=\frac{\operatorname{sen}(3 x)}{\mathrm{e}^{x}}+\ln \left(1+x^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de segunda ordem da função
f(x)=\frac{\operatorname{sen}(3x)}{\mathrm{e}^{x}}+\ln\left(1+x^{2}\right).
Informações dadas:
  • A função é a soma de duas parcelas: \dfrac{\operatorname{sen}(3x)}{\mathrm{e}^{x}} e \ln\left(1+x^{2}\right).
  • O objetivo é encontrar f''(x), a segunda derivada de f.

Passo 2

Primeiro simplifico a escrita da primeira parcela para facilitar a diferenciação. Como \mathrm{e}^{-x}=\dfrac{1}{\mathrm{e}^{x}}, tenho
\frac{\operatorname{sen}(3x)}{\mathrm{e}^{x}}=\mathrm{e}^{-x}\operatorname{sen}(3x).
Assim podemos tratar essa parcela como produto de duas funções: u(x)=\mathrm{e}^{-x} e v(x)=\operatorname{sen}(3x).

Passo 3

Vou lembrar as regras de diferenciação que vou usar (com explicação simples):
  • Regra do produto: se h(x)=u(x)v(x), então
h'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Aqui u'(x) é derivada de u e v'(x) é derivada de v.
  • Regra da cadeia: se g(x)=\varphi(\psi(x)), então
g'(x)=\varphi'(\psi(x))\cdot\psi'(x).
Isso significa: deriva a função externa \varphi avaliada na interna \psi(x) e multiplica pela derivada da interna.
  • Derivadas básicas úteis:
    • \dfrac{d}{dx}\mathrm{e}^{x}=\mathrm{e}^{x}. Pela cadeia, \dfrac{d}{dx}\mathrm{e}^{u(x)}=\mathrm{e}^{u(x)}u'(x).
    • \dfrac{d}{dx}\operatorname{sen}(x)=\cos(x). Pela cadeia, \dfrac{d}{dx}\operatorname{sen}(u(x))=\cos(u(x))u'(x).
    • \dfrac{d}{dx}\ln(x)=\dfrac{1}{x}. Pela cadeia, \dfrac{d}{dx}\ln(u(x))=\dfrac{u'(x)}{u(x)}.
  • Regra do quociente (quando precisar): se q(x)=\dfrac{a(x)}{b(x)}, então
q'(x)=\frac{a'(x)b(x)-a(x)b'(x)}{[b(x)]^{2}}.

Passo 4

Calculo a derivada da primeira parcela \mathrm{e}^{-x}\operatorname{sen}(3x).
Calculo das derivadas das partes:
  • Derivada de u(x)=\mathrm{e}^{-x}. Pela cadeia, derivando -x -1, então
u'(x)=-\mathrm{e}^{-x}.
  • Derivada de v(x)=\operatorname{sen}(3x). Pela cadeia, derivada de \operatorname{sen}(t) é \cos(t) multiplicada por t'. Aqui t=3x tem t'=3. Logo
v'(x)=3\cos(3x).
Aplicando a regra do produto:
\frac{d}{dx}\big(\mathrm{e}^{-x}\operatorname{sen}(3x)\big)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x) =-\mathrm{e}^{-x}\operatorname{sen}(3x)+\mathrm{e}^{-x}\cdot 3\cos(3x).
Fatorando \mathrm{e}^{-x}:
\frac{d}{dx}\left(\frac{\operatorname{sen}(3x)}{\mathrm{e}^{x}}\right) =\mathrm{e}^{-x}\big(3\cos(3x)-\operatorname{sen}(3x)\big).

Passo 5

Calculo a derivada da segunda parcela \ln\left(1+x^{2}\right). Uso regra da cadeia:
  • A função externa é \ln(t) com derivada 1/t.
  • A função interna é t=1+x^{2} com derivada t'=2x.
    Logo
\frac{d}{dx}\ln\left(1+x^{2}\right)=\frac{2x}{1+x^{2}}.

Passo 6

Juntando as duas parcelas, a primeira derivada f'(x) é
f'(x)=\mathrm{e}^{-x}\big(3\cos(3x)-\operatorname{sen}(3x)\big)+\frac{2x}{1+x^{2}}.

Passo 7

Agora calculo a derivada segunda f''(x) diferenciando termo a termo. Começo pela derivada do termo \mathrm{e}^{-x}\big(3\cos(3x)-\operatorname{sen}(3x)\big). Vou usar novamente a regra do produto com
U(x)=\mathrm{e}^{-x},\qquad V(x)=3\cos(3x)-\operatorname{sen}(3x).
Já sei U'(x)=-\mathrm{e}^{-x}.
Calculo V'(x) usando regra da cadeia em cada parcela:
  • Derivada de 3\cos(3x): fator constante 3 multiplicando derivada de \cos(3x). Derivada de \cos(3x) é -\sin(3x)\cdot 3. Então
\frac{d}{dx}\big(3\cos(3x)\big)=3\cdot\big(-3\sin(3x)\big)=-9\sin(3x).
  • Derivada de -\operatorname{sen}(3x): é -\cos(3x)\cdot 3=-3\cos(3x).
Somando:
V'(x)=-9\sin(3x)-3\cos(3x).
Agora aplico a regra do produto:
\frac{d}{dx}\Big(\mathrm{e}^{-x}\big(3\cos(3x)-\operatorname{sen}(3x)\big)\Big) =U'(x)V(x)+U(x)V'(x).
Substituindo:
=-\mathrm{e}^{-x}\big(3\cos(3x)-\operatorname{sen}(3x)\big) +\mathrm{e}^{-x}\big(-9\sin(3x)-3\cos(3x)\big).

Passo 8

Simplifico a expressão anterior fatorando \mathrm{e}^{-x}:
\mathrm{e}^{-x}\Big(-\big(3\cos(3x)-\operatorname{sen}(3x)\big)-9\sin(3x)-3\cos(3x)\Big).
Abro o parêntese e agrupo termos semelhantes ( termos com \cos(3x) e com \sin(3x) ):
\mathrm{e}^{-x}\Big(-3\cos(3x)+\operatorname{sen}(3x)-9\sin(3x)-3\cos(3x)\Big).
\mathrm{e}^{-x}\Big((-3-3)\cos(3x)+(\,1-9\,)\sin(3x)\Big) =\mathrm{e}^{-x}\big(-6\cos(3x)-8\sin(3x)\big).
Posso também fatorar -2 para deixar mais compacto:
\mathrm{e}^{-x}\big(-6\cos(3x)-8\sin(3x)\big)=-2\mathrm{e}^{-x}\big(3\cos(3x)+4\sin(3x)\big).

Passo 9

Agora diferenciamos a segunda parcela da primeira derivada, que é \dfrac{2x}{1+x^{2}}. Uso a regra do quociente com a(x)=2x e b(x)=1+x^{2}:
  • a'(x)=2.
  • b'(x)=2x.
    Aplicando a fórmula
\left(\frac{a}{b}\right)'=\frac{a'b-ab'}{b^{2}}
obtém-se
\frac{d}{dx}\left(\frac{2x}{1+x^{2}}\right) =\frac{2(1+x^{2})-2x\cdot 2x}{(1+x^{2})^{2}} =\frac{2+2x^{2}-4x^{2}}{(1+x^{2})^{2}} =\frac{2-2x^{2}}{(1+x^{2})^{2}}.
Factorizando 2:
\frac{2(1-x^{2})}{(1+x^{2})^{2}}.

Passo 10

Finalmente somo as partes que obtive para montar f''(x). A derivada da primeira parcela deu \mathrm{e}^{-x}\big(-6\cos(3x)-8\sin(3x)\big) e a da segunda parcela deu \dfrac{2(1-x^{2})}{(1+x^{2})^{2}}. Portanto
f''(x)=\mathrm{e}^{-x}\big(-6\cos(3x)-8\sin(3x)\big)+\frac{2(1-x^{2})}{(1+x^{2})^{2}}.

Resposta

f''(x)=\mathrm{e}^{-x}\big(-6\cos(3x)-8\sin(3x)\big)+\frac{2(1-x^{2})}{(1+x^{2})^{2}}

Exercícios relacionados