Calcule a derivada de segunda ordem da função
dada por:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada de segunda ordem da função
Informações dadas:
- A função é a soma de duas parcelas:
e . - O objetivo é encontrar
, a segunda derivada de .
Passo 2
Primeiro simplifico a escrita da primeira parcela para facilitar a diferenciação. Como
, tenho
Assim podemos tratar essa parcela como produto de duas funções:
e
.
Passo 3
Vou lembrar as regras de diferenciação que vou usar (com explicação simples):
- Regra do produto: se
, então
Aqui
é derivada de
e
é derivada de
.
- Regra da cadeia: se
, então
Isso significa: deriva a função externa
avaliada na interna
e multiplica pela derivada da interna.
- Derivadas básicas úteis:
-
. Pela cadeia, . -
. Pela cadeia, . -
. Pela cadeia, .
-
- Regra do quociente (quando precisar): se
, então
Passo 4
Calculo a derivada da primeira parcela
.
Calculo das derivadas das partes:
- Derivada de
. Pela cadeia, derivando dá , então
- Derivada de
. Pela cadeia, derivada de é multiplicada por . Aqui tem . Logo
Aplicando a regra do produto:
Fatorando
:
Passo 5
Calculo a derivada da segunda parcela
. Uso regra da cadeia:
- A função externa é
com derivada . - A função interna é
com derivada .
Logo
Passo 6
Juntando as duas parcelas, a primeira derivada
é
Passo 7
Agora calculo a derivada segunda
diferenciando termo a termo. Começo pela derivada do termo
. Vou usar novamente a regra do produto com
Já sei
.
Calculo
usando regra da cadeia em cada parcela:
- Derivada de
: fator constante multiplicando derivada de . Derivada de é . Então
- Derivada de
: é .
Somando:
Agora aplico a regra do produto:
Substituindo:
Passo 8
Simplifico a expressão anterior fatorando
:
Abro o parêntese e agrupo termos semelhantes ( termos com
e com
):
Posso também fatorar
para deixar mais compacto:
Passo 9
Agora diferenciamos a segunda parcela da primeira derivada, que é
. Uso a regra do quociente com
e
:
-
. -
.
Aplicando a fórmula
obtém-se
Factorizando
:
Passo 10
Finalmente somo as partes que obtive para montar
. A derivada da primeira parcela deu
e a da segunda parcela deu
. Portanto