Calcule as primeiras derivadas parciais (com respeito a x e a y) das funções abaixo:
z=e^{x y} \sin \left(4 y^{2}\right)

Passo 1

O enunciado nos dá a função
z = e^{x y}\,\sin\bigl(4y^{2}\bigr)
e pede as derivadas parciais \frac{\partial z}{\partial x} e \frac{\partial z}{\partial y}.
Para isso vamos usar:
– Na derivada em x, y é tratado como constante, e vale a regra da derivada de e^{x y}.
– Na derivada em y, aplicamos a regra do produto em e^{x y}\sin(4y^{2}) e a regra da cadeia em \sin(4y^{2}).

Passo 2

Calcular \frac{\partial z}{\partial x}.
Trata-se de
z = \underbrace{e^{x y}}_{A(x,y)} \;\cdot\;\underbrace{\sin\bigl(4y^{2}\bigr)}_{B(y)}.
Como B(y) independe de x,
\frac{\partial A}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}e^{x y} = y\,e^{x y}.
Logo,
\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial A}{\partial x}\,B = \bigl(y\,e^{x y}\bigr)\,\sin\bigl(4y^{2}\bigr).

Passo 3

Calcular \frac{\partial z}{\partial y}.
Aqui usamos o produto A(x,y)\,B(y) com
A(x,y)=e^{x y}, \quad B(y)=\sin\bigl(4y^{2}\bigr).
Primeiro,
\frac{\partial A}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}e^{x y} = x\,e^{x y}.
Depois,
\frac{\partial B}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\sin\bigl(4y^{2}\bigr) = \cos\bigl(4y^{2}\bigr)\,\cdot(8y) = 8y\,\cos\bigl(4y^{2}\bigr).
Pelo produto,
\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial A}{\partial y}\,B + A\,\frac{\partial B}{\partial y} = \bigl(x\,e^{x y}\bigr)\,\sin\bigl(4y^{2}\bigr) + e^{x y}\,\bigl(8y\,\cos\bigl(4y^{2}\bigr)\bigr).
Podemos fatorar e^{x y}:
\frac{\partial z}{\partial y} = e^{x y}\Bigl(x\,\sin\bigl(4y^{2}\bigr) + 8y\,\cos\bigl(4y^{2}\bigr)\Bigr).

Resposta

\frac{\partial z}{\partial x} = y\,e^{x y}\,\sin\bigl(4y^{2}\bigr), \qquad \frac{\partial z}{\partial y} = e^{x y}\Bigl(x\,\sin\bigl(4y^{2}\bigr) + 8y\,\cos\bigl(4y^{2}\bigr)\Bigr).

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