Calcule as primeiras derivadas parciais (com respeito a x e a y) das funções abaixo:
f(x, y)=x^{3} y+5 y^{3}

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de
f(x,y)=x^{3}y+5y^{3}
em relação a x e em relação a y. O conteúdo aqui é diferenciação parcial, onde tratamos uma variável como constante enquanto derivamos em relação à outra. Vamos usar a regra do poder (para monômios) e a regra da constante multiplicativa.

Passo 2

Para encontrar \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}, tratamos y como constante.
  • A derivada de x^{3}y em relação a x é
y\cdot \frac{d}{dx}\bigl(x^{3}\bigr) =y\cdot 3x^{2} =3x^{2}y.
  • A derivada de 5y^{3} em relação a x é zero, pois não depende de x.
    Logo,
\frac{\partial f}{\partial x}=3x^{2}y.

Passo 3

Para encontrar \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}, tratamos x como constante.
  • A derivada de x^{3}y em relação a y é
x^{3}\cdot \frac{d}{dy}(y) =x^{3}\cdot 1 =x^{3}.
  • A derivada de 5y^{3} em relação a y é
5\cdot \frac{d}{dy}\bigl(y^{3}\bigr) =5\cdot 3y^{2} =15y^{2}.
Portanto,
\frac{\partial f}{\partial y}=x^{3}+15y^{2}.

Resposta

\frac{\partial f}{\partial x}=3x^{2}y, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}=x^{3}+15y^{2}.

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