Calcule as primeiras derivadas parciais (com respeito a x e a y) das funções abaixo:
f(x, y)=5 x^{2}-7 x y+2 y^{2}

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de
f(x,y) = 5x^{2} \;-\;7\,x\,y\;+\;2y^{2}
com respeito a x e a y. Vamos lembrar que, ao calcular \partial f/\partial x, tratamos y como constante, e ao calcular \partial f/\partial y, tratamos x como constante.

Passo 2

Cálculo de \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}.
Tratando y como constante, aplicamos a regra da soma e a regra do produto:
\frac{\partial}{\partial x}(5x^{2}) = 10x,
\frac{\partial}{\partial x}(-7\,x\,y) = -7\,y,
\frac{\partial}{\partial x}(2y^{2}) = 0.
Logo,
\frac{\partial f}{\partial x} = 10x - 7y.

Passo 3

Cálculo de \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}.
Tratando x como constante, temos:
\frac{\partial}{\partial y}(5x^{2}) = 0,
\frac{\partial}{\partial y}(-7\,x\,y) = -7\,x,
\frac{\partial}{\partial y}(2y^{2}) = 4y.
Logo,
\frac{\partial f}{\partial y} = -7x + 4y.

Resposta

\frac{\partial f}{\partial x} = 10x - 7y, \qquad \frac{\partial f}{\partial y} = -7x + 4y.

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