Calcule as primitivas:
Passo 1
O enunciado pede para calcular as primitivas (antiderivadas) da função dada. Informações importantes que o enunciado dá:
- A expressão a integrar é
. - Queremos encontrar todas as primitivas, ou seja, uma família de funções
tais que onde a função original está definida. - Observação importante: a expressão original está indefinida em
(porque o denominador fica zero). Vou manter isso em mente ao simplificar e ao dizer onde a primitiva vale.
Passo 2
Primeiro passo no cálculo: simplificar a expressão racional quando possível. Aqui dá para usar a fatoração de diferença de quadrados. Regra que vamos usar (explico como se fosse uma receita): para quaisquer números
e
,
Aplicando com
e
, temos
Essa é uma transformação algébrica exata — é só fatorar o numerador.
Passo 3
Agora substituímos a fatoração na fração. Temos
Podemos cancelar o fator
no numerador com o denominador, mas atenção: isso é válido apenas quando
, ou seja, para
. Após o cancelamento obtemos, para
,
Portanto a função que estamos integrando coincide com
sempre que
.
Passo 4
Agora vamos lembrar as regras básicas de integração que usaremos (explico devagar para você conseguir aplicar na prova):
- Regra da linearidade:
. - Constante em fator:
. - Regra da potência (caso mais usado): para
,
onde
é a constante de integração. Exemplos simples:
e
.
Passo 5
Aplicamos as regras ao integrando simplificado
. Usando linearidade,
Agora aplicamos a regra da potência e a regra da constante:
Somando e juntando as constantes (
) obtemos
Passo 6
Comentário final sobre domínio e a constante de integração (isso costuma confundir muita gente, então explico):
- A simplificação que fizemos usou cancelamento de
, por isso a igualdade vale apenas para . Assim, a primitiva que encontramos é válida em qualquer intervalo onde a função original esteja definida, isto é, em cada um dos intervalos e . - Em cada intervalo conectado (à esquerda e à direita de
) a primitiva geral é , podendo o valor de ser diferente em cada componente do domínio. Em resumo, a família de primitivas é