Calcule as primitivas:
\int\left(\frac{x^{2}-16}{x-4}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular as primitivas (antiderivadas) da função dada. Informações importantes que o enunciado dá:
  • A expressão a integrar é \displaystyle \frac{x^{2}-16}{x-4}.
  • Queremos encontrar todas as primitivas, ou seja, uma família de funções F(x) tais que F'(x)=\dfrac{x^{2}-16}{x-4} onde a função original está definida.
  • Observação importante: a expressão original está indefinida em \displaystyle x=4 (porque o denominador fica zero). Vou manter isso em mente ao simplificar e ao dizer onde a primitiva vale.

Passo 2

Primeiro passo no cálculo: simplificar a expressão racional quando possível. Aqui dá para usar a fatoração de diferença de quadrados. Regra que vamos usar (explico como se fosse uma receita): para quaisquer números a e b,
a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b).
Aplicando com a=x e b=4, temos
x^{2}-16=(x-4)(x+4).
Essa é uma transformação algébrica exata — é só fatorar o numerador.

Passo 3

Agora substituímos a fatoração na fração. Temos
\frac{x^{2}-16}{x-4}=\frac{(x-4)(x+4)}{x-4}.
Podemos cancelar o fator (x-4) no numerador com o denominador, mas atenção: isso é válido apenas quando (x-4)\neq0, ou seja, para x\neq4. Após o cancelamento obtemos, para x\neq4,
\frac{x^{2}-16}{x-4}=x+4.
Portanto a função que estamos integrando coincide com x+4 sempre que x\neq4.

Passo 4

Agora vamos lembrar as regras básicas de integração que usaremos (explico devagar para você conseguir aplicar na prova):
  • Regra da linearidade: \displaystyle \int (f(x)+g(x))\,dx=\int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx.
  • Constante em fator: \displaystyle \int c\cdot f(x)\,dx = c\int f(x)\,dx.
  • Regra da potência (caso mais usado): para n\neq-1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C,
onde C é a constante de integração. Exemplos simples: \int x\,dx=\dfrac{x^{2}}{2}+C e \int 1\,dx = x+C.

Passo 5

Aplicamos as regras ao integrando simplificado x+4. Usando linearidade,
\int\frac{x^{2}-16}{x-4}\,dx=\int (x+4)\,dx=\int x\,dx+\int 4\,dx.
Agora aplicamos a regra da potência e a regra da constante:
\int x\,dx=\frac{x^{2}}{2}+C_{1},\quad \int 4\,dx=4x+C_{2}.
Somando e juntando as constantes ( C=C_{1}+C_{2}) obtemos
\int (x+4)\,dx=\frac{x^{2}}{2}+4x+C.

Passo 6

Comentário final sobre domínio e a constante de integração (isso costuma confundir muita gente, então explico):
  • A simplificação que fizemos usou cancelamento de (x-4), por isso a igualdade \dfrac{x^{2}-16}{x-4}=x+4 vale apenas para x\neq4. Assim, a primitiva que encontramos é válida em qualquer intervalo onde a função original esteja definida, isto é, em cada um dos intervalos (-\infty,4) e (4,\infty).
  • Em cada intervalo conectado (à esquerda e à direita de 4) a primitiva geral é \displaystyle \frac{x^{2}}{2}+4x+C, podendo o valor de C ser diferente em cada componente do domínio. Em resumo, a família de primitivas é
\frac{x^{2}}{2}+4x+C\quad\text{para }x\neq4.

Resposta

\displaystyle \frac{x^{2}}{2}+4x+C,\;x\neq4

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