Calcule as primitivas:
\int\left(2 x^{3}-\frac{1}{x^{4}}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a primitiva (antiderivada) da função dada, ou seja encontrar uma função cuja derivada seja igual ao integrando. A integral é
\int\left(2 x^{3}-\frac{1}{x^{4}}\right)dx.
Informações relevantes dadas: o integrando é a soma de dois termos, 2x^{3} e -\dfrac{1}{x^{4}}.

Passo 2

Regras básicas que vamos usar (explicadas devagarzinho):
  • Linearidade da integral: a integral da soma é a soma das integrais e constantes saem da integral. Em símbolos,
\int\bigl(a f(x)+b g(x)\bigr)\,dx = a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx,
onde a e b são constantes.
  • Regra da potência para primitiva: para todo n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C,
onde C é a constante de integração. Aqui n é o expoente da potência; por exemplo, se n=3 obtemos \int x^{3}\,dx=\dfrac{x^{4}}{4}.
Observação: a regra vale também quando n é negativo (desde que não seja -1). Por isso podemos tratar \dfrac{1}{x^{4}} como x^{-4}.

Passo 3

Aplicando linearidade, separamos a integral em duas:
\int\left(2x^{3}-\frac{1}{x^{4}}\right)dx = \int 2x^{3}\,dx - \int \frac{1}{x^{4}}\,dx.
Também posso tirar a constante 2 para fora da primeira integral:
\int 2x^{3}\,dx = 2\int x^{3}\,dx.

Passo 4

Calculo da primeira integral usando a regra da potência com n=3:
\int x^{3}\,dx = \frac{x^{4}}{4} + C_1.
Multiplicando por 2:
2\int x^{3}\,dx = 2\cdot\frac{x^{4}}{4} = \frac{x^{4}}{2}.
Aqui C_1 é uma constante; no final teremos apenas uma constante C única.

Passo 5

Calculo da segunda integral. Primeiro reescrevo \dfrac{1}{x^{4}}=x^{-4}. Usando a regra da potência com n=-4:
\int x^{-4}\,dx = \frac{x^{-3}}{-3} + C_2 = -\frac{1}{3}x^{-3} + C_2.
Como na integral original temos um sinal menos, fica
- \int \frac{1}{x^{4}}\,dx = -\left(-\frac{1}{3}x^{-3}\right) = \frac{1}{3}x^{-3}.
Ou, escrito de forma equivalente,
\frac{1}{3}x^{-3} = \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{x^{3}} = \frac{1}{3x^{3}}.

Passo 6

Somando os dois resultados e juntando as constantes C_1 e C_2 numa única constante C, obtemos a primitiva geral:
\frac{x^{4}}{2} + \frac{1}{3}x^{-3} + C.

Passo 7

Checagem rápida (derivada para confirmar): derivo \dfrac{x^{4}}{2} e \dfrac{1}{3}x^{-3}
\frac{d}{dx}\left(\frac{x^{4}}{2}\right)=\frac{4x^{3}}{2}=2x^{3},
\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{3}x^{-3}\right)=\frac{1}{3}\cdot(-3)x^{-4}=-x^{-4}=-\frac{1}{x^{4}}.
Somando dá exatamente o integrando 2x^{3}-\dfrac{1}{x^{4}}. Tudo bate.

Resposta

\dfrac{x^{4}}{2}+\dfrac{1}{3x^{3}}+C

Exercícios relacionados