Calcule as primitivas:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a primitiva (antiderivada) da função dada, ou seja encontrar uma função cuja derivada seja igual ao integrando. A integral é
Informações relevantes dadas: o integrando é a soma de dois termos,
e
.
Passo 2
Regras básicas que vamos usar (explicadas devagarzinho):
- Linearidade da integral: a integral da soma é a soma das integrais e constantes saem da integral. Em símbolos,
onde
e
são constantes.
- Regra da potência para primitiva: para todo
,
onde
é a constante de integração. Aqui
é o expoente da potência; por exemplo, se
obtemos
.
Observação: a regra vale também quando é negativo (desde que não seja
). Por isso podemos tratar
como
.
Observação: a regra vale também quando
Passo 3
Aplicando linearidade, separamos a integral em duas:
Também posso tirar a constante
para fora da primeira integral:
Passo 4
Calculo da primeira integral usando a regra da potência com
:
Multiplicando por
:
Aqui
é uma constante; no final teremos apenas uma constante
única.
Passo 5
Calculo da segunda integral. Primeiro reescrevo
. Usando a regra da potência com
:
Como na integral original temos um sinal menos, fica
Ou, escrito de forma equivalente,
Passo 6
Somando os dois resultados e juntando as constantes
e
numa única constante
, obtemos a primitiva geral:
Passo 7
Checagem rápida (derivada para confirmar): derivo
e
Somando dá exatamente o integrando
. Tudo bate.