Calcule as primitivas:
\int\left(4 x^{2}-8 x+1\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular as primitivas da integral
\int\left(4 x^{2}-8 x+1\right)\,d x.
Informações dadas: o integrando é o polinômio \;4x^{2}-8x+1\;. O que se espera encontrar é uma família de funções F(x) tais que F'(x)=4x^{2}-8x+1; essa família difere por uma constante de integração C.

Passo 2

Propriedade útil (linearidade da integral): a integral de soma é a soma das integrais, e constantes fatoram para fora. Em fórmula:
\int\big(a\cdot f(x)+b\cdot g(x)\big)\,dx = a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx,
onde a e b são constantes e f,g são funções. Isso significa que podemos integrar termo a termo no polinômio.

Passo 3

Aplicando a linearidade ao integrando dado, separamos a integral em três partes:
\int\left(4 x^{2}-8 x+1\right)\,d x =4\int x^{2}\,d x -8\int x\,d x + \int 1\,d x.

Passo 4

Regra do expoente (regra da potência) para primitivas: para qualquer n\neq -1,
\int x^{n}\,d x = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.
Explicação: a razão é que, ao derivar \dfrac{x^{n+1}}{n+1}, usamos a regra da derivada \dfrac{d}{dx} x^{m} = m x^{m-1}, obtendo exatamente x^{n}. Essa fórmula é a ferramenta principal para integrar potências de x.

Passo 5

Usando a regra do expoente em cada integral separada:
\int x^{2}\,d x = \frac{x^{3}}{3},\qquad \int x\,d x = \frac{x^{2}}{2},\qquad \int 1\,d x = x.
Agora multiplicamos pelos coeficientes:
4\int x^{2}\,d x -8\int x\,d x + \int 1\,d x =4\cdot\frac{x^{3}}{3} -8\cdot\frac{x^{2}}{2} + x + C.
Simplificando os coeficientes:
4\cdot\frac{x^{3}}{3} = \frac{4}{3}x^{3},\qquad -8\cdot\frac{x^{2}}{2} = -4x^{2}.
Portanto obtemos a expressão
\frac{4}{3}x^{3} -4x^{2} + x + C.

Passo 6

Verificação (cheia de confiança): derivamos a função encontrada para checar se retorna o integrando. Usando a regra \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}:
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{4}{3}x^{3}\right)=\frac{4}{3}\cdot 3x^{2}=4x^{2},
\frac{d}{dx}(-4x^{2})=-4\cdot 2x=-8x,
\frac{d}{dx}(x)=1.
Somando:
4x^{2}-8x+1,
que é exatamente o integrando original. Logo a primitiva está correta.

Resposta

\dfrac{4}{3}x^{3}-4x^{2}+x+C

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