Calcule as primitivas:
Passo 1
O enunciado pede para calcular as primitivas da integral
Informações dadas: o integrando é o polinômio
. O que se espera encontrar é uma família de funções
tais que
; essa família difere por uma constante de integração
.
Passo 2
Propriedade útil (linearidade da integral): a integral de soma é a soma das integrais, e constantes fatoram para fora. Em fórmula:
onde
e
são constantes e
são funções. Isso significa que podemos integrar termo a termo no polinômio.
Passo 3
Aplicando a linearidade ao integrando dado, separamos a integral em três partes:
Passo 4
Regra do expoente (regra da potência) para primitivas: para qualquer
,
Explicação: a razão é que, ao derivar
, usamos a regra da derivada
, obtendo exatamente
. Essa fórmula é a ferramenta principal para integrar potências de
.
Passo 5
Usando a regra do expoente em cada integral separada:
Agora multiplicamos pelos coeficientes:
Simplificando os coeficientes:
Portanto obtemos a expressão
Passo 6
Verificação (cheia de confiança): derivamos a função encontrada para checar se retorna o integrando. Usando a regra
:
Somando:
que é exatamente o integrando original. Logo a primitiva está correta.