Questão 38. Resolva os seguintes PVI’s:
\left\{\begin{aligned} y^{\prime} & =\frac{2 x}{y+y x^{2}} \\\ y(2) & =3\end{aligned} \quad\left(\right.\right.

Passo 1

O enunciado dá um problema de valor inicial (PVI) com as seguintes informações: \displaystyle y'=\frac{2x}{y+y x^{2}} e a condição inicial \displaystyle y(2)=3.
Pergunta: encontrar a função y(x) que satisfaz a equação diferencial dada e a condição inicial.

Passo 2

Primeiro vamos organizar a expressão da equação dada. No denominador temos y+y x^{2}. Podemos fatorar y para simplificar:
y+y x^{2}=y(1+x^{2}).
Portanto a equação fica
\frac{dy}{dx}=\frac{2x}{y(1+x^{2})}.
Aqui eu escrevi y' como \dfrac{dy}{dx} para facilitar a separação de variáveis.

Passo 3

A equação é separável: podemos colocar todos os termos com y de um lado e todos os termos com x do outro. Multiplicando ambos os lados por y(1+x^{2})\,dx obtemos (atenção: isto exige y\neq0; como a condição inicial é y(2)=3\neq0, essa divisão é válida numa vizinhança de x=2):
y\,dy=\frac{2x}{1+x^{2}}\,dx.
Isto nos deixa prontos para integrar cada lado conforme suas variáveis.

Passo 4

Integramos ambos os lados. À esquerda:
\int y\,dy=\frac{y^{2}}{2}+C_{L}.
À direita usamos a substituição u=1+x^{2}, então du=2x\,dx, logo
\int \frac{2x}{1+x^{2}}\,dx=\int \frac{1}{u}\,du=\ln|u|+C_{R}=\ln(1+x^{2})+C_{R},
já que 1+x^{2}>0 para todo x. Igualando as integrais (absorvendo constantes) obtemos
\frac{y^{2}}{2}=\ln(1+x^{2})+C,
onde C é uma constante arbitrária (combinação de C_{L} e C_{R}).

Passo 5

Multiplicando por 2 para isolar y^{2} temos
y^{2}=2\ln(1+x^{2})+C_{1},
com C_{1}=2C. Esta é a forma geral (implícita) das soluções.

Passo 6

Agora aplicamos a condição inicial \displaystyle y(2)=3 para determinar a constante C_{1}. Substituindo x=2 e y=3:
9=2\ln(1+2^{2})+C_{1}=2\ln(5)+C_{1}.
Logo
C_{1}=9-2\ln 5.

Passo 7

Substituindo C_{1} na expressão para y^{2} obtemos
y^{2}=2\ln(1+x^{2})+9-2\ln 5.
Agrupando os logaritmos:
y^{2}=9+2\ln\!\left(\frac{1+x^{2}}{5}\right).
Assim
y(x)=\pm\sqrt{\,9+2\ln\!\left(\frac{1+x^{2}}{5}\right)\, }.
Para escolher o sinal, usamos a condição inicial: em x=2 temos y(2)=3>0, então devemos tomar a raiz positiva para que a solução passe por 3. Portanto a solução particular que satisfaz o PVI é
y(x)=\sqrt{\,9+2\ln\!\left(\frac{1+x^{2}}{5}\right)\, }.

Passo 8

Comentário sobre domínio (útil na prova): a expressão dentro da raiz deve ser não negativa:
9+2\ln\!\left(\frac{1+x^{2}}{5}\right)\ge 0.
Isto determina o maior conjunto de x em que a solução real está definida. Em particular existe uma vizinhança de x=2 onde a solução é bem definida e é dada pela expressão acima.

Resposta

\displaystyle y(x)=\sqrt{\,9+2\ln\!\left(\frac{1+x^{2}}{5}\right)\,}

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