O enunciado dá um problema de valor inicial (PVI) com as seguintes informações: \displaystyle y'=\frac{2x}{y+y x^{2}} e a condição inicial \displaystyle y(2)=3.
Pergunta: encontrar a função y(x) que satisfaz a equação diferencial dada e a condição inicial.
Passo 2
Primeiro vamos organizar a expressão da equação dada. No denominador temos y+y x^{2}. Podemos fatorar y para simplificar:
y+y x^{2}=y(1+x^{2}).
Portanto a equação fica
\frac{dy}{dx}=\frac{2x}{y(1+x^{2})}.
Aqui eu escrevi y' como \dfrac{dy}{dx} para facilitar a separação de variáveis.
Passo 3
A equação é separável: podemos colocar todos os termos com y de um lado e todos os termos com x do outro. Multiplicando ambos os lados por y(1+x^{2})\,dx obtemos (atenção: isto exige y\neq0; como a condição inicial é y(2)=3\neq0, essa divisão é válida numa vizinhança de x=2):
y\,dy=\frac{2x}{1+x^{2}}\,dx.
Isto nos deixa prontos para integrar cada lado conforme suas variáveis.
Passo 4
Integramos ambos os lados. À esquerda:
\int y\,dy=\frac{y^{2}}{2}+C_{L}.
À direita usamos a substituição u=1+x^{2}, então du=2x\,dx, logo
Para escolher o sinal, usamos a condição inicial: em x=2 temos y(2)=3>0, então devemos tomar a raiz positiva para que a solução passe por 3. Portanto a solução particular que satisfaz o PVI é
Comentário sobre domínio (útil na prova): a expressão dentro da raiz deve ser não negativa:
9+2\ln\!\left(\frac{1+x^{2}}{5}\right)\ge 0.
Isto determina o maior conjunto de x em que a solução real está definida. Em particular existe uma vizinhança de x=2 onde a solução é bem definida e é dada pela expressão acima.