Encontre a solução particular para o PVI dado por
\left\{\begin{aligned} y^{\prime \prime}-y & =0 \\ y(0) & =\frac{5}{4}, \quad y^{\prime}(0)=\frac{1}{2} \end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado pede a solução particular (a solução que satisfaz as condições iniciais) do problema de valor inicial dado por
\left\{\begin{aligned} y^{\prime\prime}-y &= 0,\\\ y(0) &= \tfrac{5}{4},\\\ y^{\prime}(0) &= \tfrac{1}{2}. \end{aligned}\right.
Informações relevantes: a equação diferencial é de segunda ordem, linear e com coeficientes constantes; temos duas condições iniciais em x=0. O objetivo é encontrar y(x) que satisfaça a equação e as duas condições iniciais.

Passo 2

Método geral: para equações lineares com coeficientes constantes do tipo y^{\prime\prime}-y=0 tentamos uma solução da forma y=e^{rx}, onde r é uma constante a determinar. Essa escolha é útil porque derivadas de exponenciais continuam exponenciais e permitem transformar a EDO numa equação algébrica (o chamado polinômio característico).
Assumindo y=e^{rx} temos
y' = r e^{rx},\qquad y'' = r^{2} e^{rx}.
Substituindo na equação diferencial obtemos
r^{2} e^{rx} - e^{rx} = 0.
Como e^{rx} nunca é zero, podemos dividir por e^{rx} e obter o polinômio característico
r^{2}-1=0.

Passo 3

Resolvendo o polinômio característico
r^{2}-1=0
temos as raízes
r = 1,\qquad r = -1.
Como as duas raízes são reais e distintas, a solução geral da equação homogênea é uma combinação linear das exponenciais associadas às raízes:
y(x) = C_{1} e^{x} + C_{2} e^{-x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes a determinar pelas condições iniciais.

Passo 4

Vamos obter a derivada primeira necessária para aplicar y'(0). Derivando a solução geral:
y'(x) = C_{1} e^{x} - C_{2} e^{-x}.

Passo 5

Aplicar as condições iniciais para encontrar [C_{1}) e C_{2}.
Primeira condição, em x=0:
y(0) = C_{1} + C_{2} = \tfrac{5}{4}.
Segunda condição, em x=0:
y'(0) = C_{1} - C_{2} = \tfrac{1}{2}.
Agora resolvemos o sistema linear
\begin{cases} C_{1} + C_{2} = \tfrac{5}{4},\\[4pt] C_{1} - C_{2} = \tfrac{1}{2}. \end{cases}
Somando as duas equações:
2C_{1} = \tfrac{5}{4} + \tfrac{1}{2} = \tfrac{5}{4} + \tfrac{2}{4} = \tfrac{7}{4},
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C_{1} = \tfrac{7}{8}.
Substituindo em (C_{1}+C_{2}=\tfrac{5}{4}]:
C_{2} = \tfrac{5}{4} - \tfrac{7}{8} = \tfrac{10}{8} - \tfrac{7}{8} = \tfrac{3}{8}.]

Passo 6

Com C_{1}=\tfrac{7}{8} e C_{2}=\tfrac{3}{8} a solução particular (que satisfaz as condições iniciais) é
y(x) = \tfrac{7}{8} e^{x} + \tfrac{3}{8} e^{-x}.
Verificação rápida: em x=0 temos y(0)=\tfrac{7}{8}+\tfrac{3}{8}=\tfrac{5}{4} e y'(0)=\tfrac{7}{8}-\tfrac{3}{8}=\tfrac{1}{2}, então as condições iniciais são satisfeitas. Além disso, calcular y'' y''= \tfrac{7}{8} e^{x} + \tfrac{3}{8} e^{-x}=y, portanto y''-y=0 é satisfeita.

Resposta

y(x)=\tfrac{7}{8}e^{x}+\tfrac{3}{8}e^{-x}

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