Calcule as primitivas das seguintes funções. Quando possível faça-o usando diferentes mudanças de variáveis. Verifique cada resultado usando diferenciação.
integral t d traizt+3

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a primitiva de . Esse problema está na área de cálculo integral, especificamente envolvendo integrais que requerem substituição (mudança de variável). Para resolver, vamos precisar entender como fazer substituições que simplifiquem a integral e depois verificar nossa resposta diferenciando o resultado final.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a integral usando uma substituição. Vamos deixar . Isso significa que e, como queremos expressar tudo em termos de , precisamos também reescrever em função de . Como , então .

Passo 3

Agora, substituímos integral t , dtraizt+3 = integral u - 3raizu , du e integral uraizu , du - 3 integral 1raizu , du na integral original:
Isso pode ser separado em duas integrais:

Passo 4

Simplificamos cada termo:
uraizu = u^1 - 12 = u^12
1raizu = u^-12
Então, a integral fica:
integral u^12 , du - 3 integral u^-12 , du

Passo 5

Agora, integramos cada termo usando a regra de potência para integrais:
integral u^n , du = u^n+1n+1 + C
Aplicando:
u^3232 - 3 ( u^1212 ) + C = 23 u^32 - 6 u^12 + C
Relembrando que 23 (t + 3)^32 - 6 (t + 3)^12 + C , substituímos de volta:

Resposta

A primitiva da função é
23 (t + 3)^32 - 6 (t + 3)^12 + C

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