Calcule as primitivas das seguintes funções. Quando possível faça-o usando diferentes mudanças de variáveis. Verifique cada resultado usando diferenciação.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo juntos! A questão pede para calcularmos a primitiva (ou antiderivada) da função
em relação a
. Para isso, vamos usar técnicas de integração, como a mudança de variável (substituição). Também vamos verificar nosso resultado diferenciando a primitiva encontrada.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral para facilitar a integração. Sabemos que
, então podemos reescrever a integral assim:
Passo 3
Agora, para simplificar a fração, vamos dividir o numerador pelo denominador. Isso significa que cada termo do numerador será dividido por
. Mas antes disso, vamos expandir o numerador usando o binômio de Newton.
A expansão de
é:
Simplificando os expoentes:
Passo 4
Agora, dividimos cada termo da expansão por
:
Então, a integral fica:
Passo 5
Agora, vamos integrar cada termo individualmente. Lembrando que a integral de
é
, desde que
.
Passo 6
Agora, somamos todas as integrais encontradas:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Por fim, vamos verificar nossa resposta diferenciando a primitiva encontrada. A derivada de
é
, de
é
, de
é
, de
é
, e de
é
. Somando todos esses termos, recuperamos a função original dentro da integral, confirmando que nossa primitiva está correta.
Resposta
A primitiva da função é:
Onde
é a constante de integração.