Calcule as primitivas das seguintes funções. Quando possível faça-o usando diferentes mudanças de variáveis. Verifique cada resultado usando diferenciação.
integral (r^1 / 3+2)^4raiz[3]r^2 d r

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo juntos! A questão pede para calcularmos a primitiva (ou antiderivada) da função em relação a . Para isso, vamos usar técnicas de integração, como a mudança de variável (substituição). Também vamos verificar nosso resultado diferenciando a primitiva encontrada.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral para facilitar a integração. Sabemos que integral (r^1/3 + 2)^4r^2/3 , dr , então podemos reescrever a integral assim:

Passo 3

Agora, para simplificar a fração, vamos dividir o numerador pelo denominador. Isso significa que cada termo do numerador será dividido por (r^1/3 + 2)^4 = r^4/3 + 8r^3/3 + 24r^2/3 + 32r^1/3 + 16 . Mas antes disso, vamos expandir o numerador usando o binômio de Newton.
A expansão de = r^4/3 + 8r + 24r^2/3 + 32r^1/3 + 16 é:
Simplificando os expoentes:

Passo 4

Agora, dividimos cada termo da expansão por r^4/3r^2/3 = r^(4/3 - 2/3) = r^2/3 :
8rr^2/3 = 8r^(1 - 2/3) = 8r^1/3
24r^2/3r^2/3 = 24
32r^1/3r^2/3 = 32r^(-1/3)
16r^2/3 = 16r^-2/3
integral ( r^2/3 + 8r^1/3 + 24 + 32r^-1/3 + 16r^-2/3 ) dr
Então, a integral fica:

Passo 5

Agora, vamos integrar cada termo individualmente. Lembrando que a integral de é , desde que .

Passo 6

Agora, somamos todas as integrais encontradas:
35 r^5/3 + 6r^4/3 + 24r + 48r^2/3 + 48r^1/3 + C
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Por fim, vamos verificar nossa resposta diferenciando a primitiva encontrada. A derivada de é , de é , de é , de é , e de é . Somando todos esses termos, recuperamos a função original dentro da integral, confirmando que nossa primitiva está correta.

Resposta

A primitiva da função é:
35 r^5/3 + 6r^4/3 + 24r + 48r^2/3 + 48r^1/3 + C
Onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados