Calcule a probabilidade de um elétron com energia cinética igual a 8,0 \times 10^{-21} \mathrm{~J} passar através de uma barreira com 1,0 \mathrm{~nm} de espessura e potencial V_{0}=12,0 \times 10^{-21} \mathrm{~J}.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede a probabilidade de transmissão (túnel) do elétron:
  • Energia cinética do elétron: E = 8{,}0 \times 10^{-21}\\ \mathrm{J}.
  • Altura da barreira (potencial): V_{0} = 12{,}0 \times 10^{-21}\\ \mathrm{J}.
  • Espessura da barreira: a = 1{,}0\\ \mathrm{nm} = 1{,}0 \times 10^{-9}\\ \mathrm{m}.
    O que se quer calcular é a probabilidade de que o elétron, com E<V_{0}, atravesse a barreira por tunelamento quântico (coeficiente de transmissão T).

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática):
  • Quando uma partícula (aqui o elétron) com energia E menor que a altura da barreira V_{0} encontra uma barreira retangular de largura a, há uma probabilidade finita de ela atravessar por tunelamento. A solução exata para o coeficiente de transmissão é
T = \left[1 + \dfrac{V_{0}^{2}\operatorname{sinh}^{2}(\kappa a)}{4E(V_{0}-E)}\right]^{-1},
onde \kappa é o número de onda imaginário dentro da barreira, dado por
\kappa = \dfrac{\sqrt{2m(V_{0}-E)}}{\hbar}.
  • Aqui:
    • m é a massa do elétron ( m = 9{,}10938356 \times 10^{-31}\\ \mathrm{kg});
    • \hbar é a constante de Planck reduzida ( \hbar = 1{,}054571817 \times 10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s});
    • \operatorname{sinh} é a função seno hiperbólico; \operatorname{sinh} x = (e^{x}-e^{-x})/2.
  • Essa fórmula é a expressão padrão para uma barreira retangular de altura V_{0} e largura a quando E<V_{0}. Vou usar essa fórmula completa (não a aproximação exponencial simples), porque aqui \kappa a não é muito grande, então a aproximação simples daria erro grande.

Passo 3

Calcular \kappa. Primeiro calcule a diferença de energia na barreira:
V_{0}-E = (12{,}0-8{,}0)\times10^{-21}\\ \mathrm{J} = 4{,}0\times10^{-21}\\ \mathrm{J}.
Agora calcule 2m(V_{0}-E):
2m(V_{0}-E)=2\cdot(9{,}10938356\times10^{-31})\cdot(4{,}0\times10^{-21}) =7{,}287506848\times10^{-51}.
A raiz quadrada é
\sqrt{2m(V_{0}-E)} \approx 2{,}698\times10^{-25{,}5}\\ \text{(valor intermediário)}.á
Dividindo por \hbar:
\kappa = \dfrac{\sqrt{2m(V_{0}-E)}}{\hbar} \approx \dfrac{2{,}698\times10^{-25{,}5}}{1{,}054571817\times10^{-34}} \approx 8{,}09\times10^{8}\\ \mathrm{m^{-1}}.
(Arredondei em etapas, o valor final útil é \kappa \approx 8{,}09\times10^{8}\\ \mathrm{m^{-1}}.)

Passo 4

Calcular o produto \kappa a e \operatorname{sinh}(\kappa a):
\kappa a = (8{,}09\times10^{8}\\ \mathrm{m^{-1}})\cdot(1{,}0\times10^{-9}\\ \mathrm{m}) =0{,}809.
Agora \operatorname{sinh}(0{,}809). Usando a definição ou uma tabela/estimativa:
e^{0{,}809}\approx 2{,}246,\qquad e^{-0{,}809}\approx 0{,}4453,
\operatorname{sinh}(0{,}809)=\dfrac{2{,}246-0{,}4453}{2}\approx 0{,}9004.
Logo
\operatorname{sinh}^{2}(0{,}809)\approx(0{,}9004)^{2}\approx0{,}8106.

Passo 5

Calcular o termo da fração na fórmula de T:
  • Primeiro V_{0}^{2}: \;V_{0}^{2}=(12{,}0\times10^{-21})^{2}=144\times10^{-42}=1{,}44\times10^{-40}.
  • Denominador 4E(V_{0}-E): \;4\cdot(8{,}0\times10^{-21})\cdot(4{,}0\times10^{-21}) =128\times10^{-42}=1{,}28\times10^{-40}.
  • Razão sem o \operatorname{sinh}^{2}:
\dfrac{V_{0}^{2}}{4E(V_{0}-E)}=\dfrac{1{,}44\times10^{-40}}{1{,}28\times10^{-40}}\approx1{,}125.
Multiplicando por \operatorname{sinh}^{2}(\kappa a):
\dfrac{V_{0}^{2}\operatorname{sinh}^{2}(\kappa a)}{4E(V_{0}-E)}\approx 1{,}125\times0{,}8106\approx0{,}912.

Passo 6

Agora calcular T usando a fórmula completa:
T=\left[1 + 0{,}912\right]^{-1} = \dfrac{1}{1{,}912}\approx 0{,}523.
Em porcentagem, isso é aproximadamente 52{,}3\%.
Comentário rápido: se tivéssemos usado a aproximação grosseira T\approx e^{-2\kappa a}=e^{-1{,}618} obteríamos cerca de 0{,}199 (20%), bem diferente; por isso usei a fórmula exata — aqui a barreira é relativamente fina e a forma completa é necessária.

Resposta

T \approx 0{,}523 \quad(\text{ou }52{,}3\%)

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