Calcule a probabilidade de um elétron com energia cinética igual a
passar através de uma barreira com
de espessura e potencial
.
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede a probabilidade de transmissão (túnel) do elétron:
- Energia cinética do elétron:
. - Altura da barreira (potencial):
. - Espessura da barreira:
.
O que se quer calcular é a probabilidade de que o elétron, com, atravesse a barreira por tunelamento quântico (coeficiente de transmissão ).
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática):
- Quando uma partícula (aqui o elétron) com energia
menor que a altura da barreira encontra uma barreira retangular de largura , há uma probabilidade finita de ela atravessar por tunelamento. A solução exata para o coeficiente de transmissão é
onde
é o número de onda imaginário dentro da barreira, dado por
- Aqui:
-
é a massa do elétron ( ); -
é a constante de Planck reduzida ( ); -
é a função seno hiperbólico; .
-
- Essa fórmula é a expressão padrão para uma barreira retangular de altura
e largura quando . Vou usar essa fórmula completa (não a aproximação exponencial simples), porque aqui não é muito grande, então a aproximação simples daria erro grande.
Passo 3
Calcular
. Primeiro calcule a diferença de energia na barreira:
Agora calcule
:
A raiz quadrada é
Dividindo por
:
(Arredondei em etapas, o valor final útil é
.)
Passo 4
Calcular o produto
e
:
Agora
. Usando a definição ou uma tabela/estimativa:
Logo
Passo 5
Calcular o termo da fração na fórmula de
:
- Primeiro
: . - Denominador
: - Razão sem o
:
Multiplicando por
:
Passo 6
Agora calcular
usando a fórmula completa:
Em porcentagem, isso é aproximadamente
.
Comentário rápido: se tivéssemos usado a aproximação grosseira
obteríamos cerca de
(20%), bem diferente; por isso usei a fórmula exata — aqui a barreira é relativamente fina e a forma completa é necessária.