Seja o comutador
de dois operadores
e
dado por
Calcule o comutador dos seguintes pares de operadores:
e
e
e
e
.
Passo 1
O enunciado define o comutador de dois operadores
e
por
Ele pede para calcular os comutadores dos seguintes pares de operadores (sempre entendendo-os como operadores que atuam em funções suficientemente suaves
):
-
e ; -
e ; -
e ; -
e .
Informações dadas relevantes:
- A definição do comutador
. - Os operadores diferencial e multiplicação por
, e o operador integral definido por (observação: esse operador produz uma constante em ).
As contas seguirão aplicando a definição do comutador sobre uma função genérica.
Passo 2
Lembrete de ferramentas que vamos usar (bem devagarinho):
- A forma de aplicar um comutador a uma função
é
- Regra do produto (derivada primeiro ordem):
- Regra do produto para segunda derivada (resultado que vem da aplicação duas vezes da regra do produto):
Vou aplicar essas regras sempre que aparecer
ou
agindo sobre um produto como
.
Passo 3
Calcular
.
Aplique o comutador sobre uma função
:
Primeiro calcule
. Usando as regras:
Portanto
Substituindo na diferença:
Isto vale para toda
, logo como operador
Passo 4
Calcular
.
É útil usar a bilinearidade do comutador: para operadores
,
Então escrevemos
Sabemos que
e
. Além disso
. Portanto
Calcule
agindo em
:
Logo
é o operador identidade (denotado por
ou
). Assim
ou seja, o operador que envia
em
.
Passo 5
Calcular
.
Defina o operador integral
. Note que
é uma constante em
(não depende de
), então a sua derivada em
é zero.
Aplique o comutador a
:
O primeiro termo é
pela regra fundamental do cálculo. O segundo termo é a derivada em
de uma constante:
Portanto
Isso significa que o comutador é o operador que, a cada função
, associa a constante
. Em forma operacional:
Passo 6
Calcular
.
Usando a mesma estratégia de bilinearidade como no Passo 4:
Os termos com
entre iguais são zero, e
. Logo
No Passo 3 já calculamos
. Portanto