Seja o comutador [A, B] de dois operadores A e B dado por
[A, B]=A B-B A
Calcule o comutador dos seguintes pares de operadores:
\frac{d^{2}}{d x^{2}} e x, \frac{d}{d x}-x e \frac{d}{d x}+x, \int_{0}^{\alpha} d x e \frac{d}{d x}, \frac{d^{2}}{d x^{2}}-x e \frac{d^{2}}{d x^{2}}+x.

Passo 1

O enunciado define o comutador de dois operadores A e B por
[A,B]=AB-BA.
Ele pede para calcular os comutadores dos seguintes pares de operadores (sempre entendendo-os como operadores que atuam em funções suficientemente suaves f(x)):
  • \displaystyle \frac{d^{2}}{dx^{2}} e x;
  • \displaystyle \frac{d}{dx}-x e \displaystyle \frac{d}{dx}+x;
  • \displaystyle \int_{0}^{\alpha} dx e \displaystyle \frac{d}{dx};
  • \displaystyle \frac{d^{2}}{dx^{2}}-x e \displaystyle \frac{d^{2}}{dx^{2}}+x.
Informações dadas relevantes:
  • A definição do comutador [A,B].
  • Os operadores diferencial e multiplicação por x, e o operador integral \displaystyle I_\alpha definido por \displaystyle (I_\alpha f)(x)=\int_{0}^{\alpha} f(t)\,dt (observação: esse operador produz uma constante em x).
    As contas seguirão aplicando a definição do comutador sobre uma função genérica f(x).

Passo 2

Lembrete de ferramentas que vamos usar (bem devagarinho):
  • A forma de aplicar um comutador a uma função f é
([A,B]f)(x)=(A(Bf))(x)-(B(Af))(x).
  • Regra do produto (derivada primeiro ordem):
(uv)'=u'v+uv'.
  • Regra do produto para segunda derivada (resultado que vem da aplicação duas vezes da regra do produto):
(uv)''=u''v+2u'v'+uv''.
Vou aplicar essas regras sempre que aparecer \frac{d}{dx} ou \frac{d^2}{dx^2} agindo sobre um produto como x\cdot f(x).

Passo 3

Calcular \displaystyle \left[\frac{d^{2}}{dx^{2}},x\right].
Aplique o comutador sobre uma função f:
\left(\left[\frac{d^{2}}{dx^{2}},x\right]f\right)(x) =\frac{d^{2}}{dx^{2}}\big(xf(x)\big)-x\frac{d^{2}f}{dx^{2}}(x).
Primeiro calcule \dfrac{d^{2}}{dx^{2}}(x f(x)). Usando as regras:
(xf)' = f + x f',
(xf)'' = (f + x f')' = f' + (x f')' = f' + f' + x f'' = 2f' + x f''.
Portanto
\frac{d^{2}}{dx^{2}}(x f)=2f' + x f''.
Substituindo na diferença:
\left(\left[\frac{d^{2}}{dx^{2}},x\right]f\right)(x) = (2f' + x f'') - x f'' = 2 f'.
Isto vale para toda f, logo como operador
\left[\frac{d^{2}}{dx^{2}},x\right]=2\frac{d}{dx}.

Passo 4

Calcular \displaystyle \left[\frac{d}{dx}-x,\; \frac{d}{dx}+x\right].
É útil usar a bilinearidade do comutador: para operadores U,V,W,
[U+V,W]=[U,W]+[V,W],\qquad [U,V+W]=[U,V]+[U,W].
Então escrevemos
\left[\frac{d}{dx}-x,\frac{d}{dx}+x\right] =\left[\frac{d}{dx},\frac{d}{dx}\right]+\left[\frac{d}{dx},x\right]-\left[x,\frac{d}{dx}\right]-\left[x,x\right].
Sabemos que [D,D]=0 e [x,x]=0. Além disso [x,\frac{d}{dx}]=-\left[\frac{d}{dx},x\right]. Portanto
\left[\frac{d}{dx}-x,\frac{d}{dx}+x\right]=2\left[\frac{d}{dx},x\right].
Calcule \left[\dfrac{d}{dx},x\right] agindo em f:
\left(\left[\frac{d}{dx},x\right]f\right)(x)=\frac{d}{dx}(x f(x)) - x\frac{df}{dx}(x) = (f + x f') - x f' = f.
Logo \left[\dfrac{d}{dx},x\right] é o operador identidade (denotado por 1 ou \mathbb{I}). Assim
\left[\frac{d}{dx}-x,\frac{d}{dx}+x\right]=2\cdot \mathbb{I},
ou seja, o operador que envia f em 2f.

Passo 5

Calcular \displaystyle \left[\int_{0}^{\alpha}dx,\;\frac{d}{dx}\right].
Defina o operador integral \displaystyle (I_\alpha f)(x)=\int_{0}^{\alpha} f(t)\,dt. Note que (I_\alpha f)(x) é uma constante em x (não depende de x), então a sua derivada em x é zero.
Aplique o comutador a f:
\big([I_\alpha,\tfrac{d}{dx}]f\big)(x)=I_\alpha\big(\tfrac{d f}{dx}\big)(x)-\tfrac{d}{dx}\big(I_\alpha f\big)(x).
O primeiro termo é
I_\alpha(f')=\int_{0}^{\alpha} f'(t)\,dt = f(\alpha)-f(0)
pela regra fundamental do cálculo. O segundo termo é a derivada em x de uma constante:
\tfrac{d}{dx}\big(I_\alpha f\big)(x) = \tfrac{d}{dx}\Big(\int_{0}^{\alpha} f(t)\,dt\Big)=0.
Portanto
\big([I_\alpha,\tfrac{d}{dx}]f\big)(x)=f(\alpha)-f(0).
Isso significa que o comutador é o operador que, a cada função f, associa a constante f(\alpha)-f(0). Em forma operacional:
\left[\int_{0}^{\alpha}dx,\frac{d}{dx}\right]f = f(\alpha)-f(0).

Passo 6

Calcular \displaystyle \left[\frac{d^{2}}{dx^{2}}-x,\; \frac{d^{2}}{dx^{2}}+x\right].
Usando a mesma estratégia de bilinearidade como no Passo 4:
\left[\frac{d^{2}}{dx^{2}}-x,\frac{d^{2}}{dx^{2}}+x\right] = \left[\frac{d^{2}}{dx^{2}},\frac{d^{2}}{dx^{2}}\right] + \left[\frac{d^{2}}{dx^{2}},x\right] - \left[x,\frac{d^{2}}{dx^{2}}\right] - [x,x].
Os termos com [\cdot,\cdot] entre iguais são zero, e [x,\dfrac{d^{2}}{dx^{2}}]=-\left[\dfrac{d^{2}}{dx^{2}},x\right]. Logo
\left[\frac{d^{2}}{dx^{2}}-x,\frac{d^{2}}{dx^{2}}+x\right]=2\left[\frac{d^{2}}{dx^{2}},x\right].
No Passo 3 já calculamos \left[\dfrac{d^{2}}{dx^{2}},x\right]=2\dfrac{d}{dx}. Portanto
\left[\frac{d^{2}}{dx^{2}}-x,\frac{d^{2}}{dx^{2}}+x\right] = 2\cdot\left(2\frac{d}{dx}\right) = 4\frac{d}{dx}.

Resposta

\left[\dfrac{d^{2}}{dx^{2}},x\right]=2\dfrac{d}{dx}
\left[\dfrac{d}{dx}-x,\dfrac{d}{dx}+x\right]=2
\displaystyle \left[\int_{0}^{\alpha}dx,\dfrac{d}{dx}\right]f=f(\alpha)-f(0)
\left[\dfrac{d^{2}}{dx^{2}}-x,\dfrac{d^{2}}{dx^{2}}+x\right]=4\dfrac{d}{dx}

Exercícios relacionados