Calcule o produto escalar \langle\vec{u}, \vec{v}\rangle e o ângulo entre os vetores:
\vec{u}=(1,0,-1) e \vec{v}=(2,3,2)

Passo 1

O enunciado dá dois vetores no espaço tridimensional e pede duas coisas:
  • Calcular o produto escalar \langle\vec{u},\vec{v}\rangle.
  • Calcular o ângulo entre \vec{u} e \vec{v}.
Dados fornecidos:
\vec{u}=(1,0,-1),\qquad \vec{v}=(2,3,2).

Passo 2

O que é e como calcular o produto escalar (explicação didática).
  • O produto escalar entre dois vetores \vec{u}=(u_1,u_2,u_3) e \vec{v}=(v_1,v_2,v_3) é definido por
\langle\vec{u},\vec{v}\rangle = u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3.
  • Cada u_i e v_i é a componente na direção do eixo correspondente (por exemplo, u_1 é a coordenada x de \vec{u}).
  • Intuição geométrica curta: o produto escalar mede quanto os vetores “apontam na mesma direção”. Se for positivo, há componente alinhada; se for negativo, há componente oposta; se for zero, os vetores são ortogonais (perpendiculares).

Passo 3

Aplicando a fórmula do produto escalar aos vetores dados (conta passo a passo):
\langle\vec{u},\vec{v}\rangle = 1\cdot 2 + 0\cdot 3 + (-1)\cdot 2.
Calcule cada termo:
1\cdot 2 = 2,\qquad 0\cdot 3 = 0,\qquad (-1)\cdot 2 = -2.
Somando:
\langle\vec{u},\vec{v}\rangle = 2 + 0 - 2 = 0.
Interpretação imediata: como o produto escalar é 0, os vetores são ortogonais (perpendiculares).

Passo 4

Para achar o ângulo entre vetores precisamos das normas (comprimentos) de cada vetor. Definição e fórmula da norma:
  • A norma de \vec{u}=(u_1,u_2,u_3) é
\|\vec{u}\| = \sqrt{u_1^2+u_2^2+u_3^2}.
Calcule \|\vec{u}\| e \|\vec{v}\|:
\|\vec{u}\| = \sqrt{1^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{1+0+1} = \sqrt{2}.
\|\vec{v}\| = \sqrt{2^2 + 3^2 + 2^2} = \sqrt{4+9+4} = \sqrt{17}.

Passo 5

Fórmula para o ângulo entre vetores e aplicação (passo a passo):
  • A relação entre produto escalar e o ângulo \theta entre \vec{u} e \vec{v} é
\cos\theta = \frac{\langle\vec{u},\vec{v}\rangle}{\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|}.
Substituindo os valores que obtivemos:
\cos\theta = \frac{0}{\sqrt{2}\,\sqrt{17}} = 0.
Qual o ângulo cujo cosseno é 0? Sabemos que
\theta = \operatorname{arccos}(0) = \frac{\pi}{2}\\ \text{rad} = 90^\circ.
Isso confirma a interpretação do Passo 3: vetores ortogonais.

Passo 6

Alguns comentários e exemplos curtos para fixar:
  • Exemplo rápido de vetores ortogonais: (1,0,0) e (0,1,0) têm produto escalar 0 e ângulo 90^\circ.
  • Exemplo de vetores paralelos: (1,1,1) e (2,2,2) têm produto escalar positivo e ângulo 0^\circ.
  • Dica para prova: calcule o produto escalar primeiro; se der 0, já conclui que o ângulo é \tfrac{\pi}{2} e não precisa calcular normas para a ângulo (mas calcular normas pode servir para checar consistência).

Resposta

\langle\vec{u},\vec{v}\rangle = 0
\theta = \dfrac{\pi}{2} (ou 90^\circ)

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