Calcule o produto escalar
e o ângulo entre os vetores:
e
Passo 1
O enunciado dá dois vetores no espaço tridimensional e pede duas coisas:
- Calcular o produto escalar
. - Calcular o ângulo entre
e .
Dados fornecidos:
Passo 2
O que é e como calcular o produto escalar (explicação didática).
- O produto escalar entre dois vetores
e é definido por
- Cada
e é a componente na direção do eixo correspondente (por exemplo, é a coordenada de ). - Intuição geométrica curta: o produto escalar mede quanto os vetores “apontam na mesma direção”. Se for positivo, há componente alinhada; se for negativo, há componente oposta; se for zero, os vetores são ortogonais (perpendiculares).
Passo 3
Aplicando a fórmula do produto escalar aos vetores dados (conta passo a passo):
Calcule cada termo:
Somando:
Interpretação imediata: como o produto escalar é
, os vetores são ortogonais (perpendiculares).
Passo 4
Para achar o ângulo entre vetores precisamos das normas (comprimentos) de cada vetor. Definição e fórmula da norma:
- A norma de
é
Calcule
e
:
Passo 5
Fórmula para o ângulo entre vetores e aplicação (passo a passo):
- A relação entre produto escalar e o ângulo
entre e é
Substituindo os valores que obtivemos:
Qual o ângulo cujo cosseno é
? Sabemos que
Isso confirma a interpretação do Passo 3: vetores ortogonais.
Passo 6
Alguns comentários e exemplos curtos para fixar:
- Exemplo rápido de vetores ortogonais:
e têm produto escalar e ângulo . - Exemplo de vetores paralelos:
e têm produto escalar positivo e ângulo . - Dica para prova: calcule o produto escalar primeiro; se der
, já conclui que o ângulo é e não precisa calcular normas para a ângulo (mas calcular normas pode servir para checar consistência).