Dados os vetores vec{u}=(3,-2) e vec{v}=(-1,5) em \mathbb{R}^{2}, calcule:
\|\vec{u}\| e \|\vec{v}\|

Passo 1

O enunciado dá os vetores \vec{u}=(3,-2) e \vec{v}=(-1,5) em \mathbb{R}^{2} e pede para calcular \|\vec{u}\| e \|\vec{v}\|.
Informações relevantes fornecidas:
  • \vec{u}=(3,-2).
  • \vec{v}=(-1,5).
    Perguntas a responder:
  • Calcular \|\vec{u}\|.
  • Calcular \|\vec{v}\|.

Passo 2

Fórmula que vamos usar (norma Euclidiana em \mathbb{R}^{2}):
\|\vec{x}\|=\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}},
onde \vec{x}=(x_{1},x_{2}).
Explicação: x_{1} e x_{2} são as componentes do vetor (primeira e segunda coordenada). A norma \|\vec{x}\| é a distância do ponto (x_{1},x_{2}) até a origem (0,0); a fórmula vem do teorema de Pitágoras: a distância é a raiz quadrada da soma dos quadrados das componentes.

Passo 3

Aplicando a fórmula a \vec{u}=(3,-2). Primeiro calcule as componentes ao quadrado:
(3)^{2}=9,\qquad (-2)^{2}=4.
Some os quadrados:
9+4=13.
Portanto
\|\vec{u}\|=\sqrt{13}.
Observação prática: 13 é primo, não há quadrado perfeito a fatorar, logo \sqrt{13} é a forma mais simples exata.

Passo 4

Aplicando a fórmula a \vec{v}=(-1,5). Primeiro calcule as componentes ao quadrado:
(-1)^{2}=1,\qquad (5)^{2}=25.
Some os quadrados:
1+25=26.
Portanto
\|\vec{v}\|=\sqrt{26}.
Observação prática: 26=2\cdot13 não contém quadrado perfeito além de 1, então \sqrt{26} é a forma exata simplificada.

Passo 5

Dica rápida para a prova: calcule os quadrados das componentes (números pequenos), some e verifique se o resultado é um quadrado perfeito (1,4,9,16,25,…). Se for, você pode simplificar a raiz; se não for, deixe em forma de raiz quadrada exata como fizemos aqui. Força — você tá indo bem!

Resposta

\|\vec{u}\|=\sqrt{13}
\|\vec{v}\|=\sqrt{26}

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