Dados os pontos A=(1,2), B=(4,6) e C=(-1,3) no plano, calcule:
A distância entre A e C.

Passo 1

O enunciado dá os pontos no plano:
  • A=(1,2)
  • B=(4,6) (não é necessário para esta parte, mas foi informado)
  • C=(-1,3)
A pergunta é: calcular a distância entre A e C.

Passo 2

Fórmula que vamos usar (derivada do Teorema de Pitágoras). Para dois pontos quaisquer (x_1,y_1) e (x_2,y_2) no plano, a distância d entre eles é
d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}.
O que cada símbolo significa:
  • x_1,y_1 são as coordenadas do primeiro ponto;
  • x_2,y_2 são as coordenadas do segundo ponto;
  • x_2-x_1 é a diferença horizontal entre os pontos (cateto horizontal);
  • y_2-y_1 é a diferença vertical entre os pontos (cateto vertical);
  • a raiz quadrada \sqrt{\cdot} dá a hipotenusa do triângulo retângulo formado pelas diferenças.
Dica concreta: para ver de onde vem, imagine o triângulo com catetos |x_2-x_1| e |y_2-y_1|; então a hipotenusa é \sqrt{(\text{cateto}_1)^2+(\text{cateto}_2)^2}.

Passo 3

Aplicando a fórmula a A=(1,2) e C=(-1,3). Primeiro calcule as diferenças de coordenadas:
x_2-x_1 = -1 - 1 = -2,
y_2-y_1 = 3 - 2 = 1.

Passo 4

Agora elevamos ao quadrado cada diferença e somamos:
(x_2-x_1)^2 = (-2)^2 = 4,
(y_2-y_1)^2 = 1^2 = 1,
(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2 = 4+1 = 5.

Passo 5

Por fim, a distância é a raiz quadrada dessa soma:
d_{AC}=\sqrt{5}.
Se quiser uma aproximação decimal rápida, \sqrt{5}\approx 2,236, mas a forma exata é melhor em provas.

Resposta

\sqrt{5}

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