Calcule o produto escalar dos seguintes pares de vetores, e o ângulo entre eles.
\underline{v}=(1,-2) e \underline{w}=(-2,-4),

Passo 1

O que o problema pede e o que foi dado.
  • Pede: calcular o produto escalar entre dois vetores e o ângulo entre eles.
  • Dados:
    • \underline{v}=(1,-2).
    • \underline{w}=(-2,-4).

Passo 2

Definição do produto escalar e cálculo passo a passo.
  • Lembrete da fórmula: para vetores em \mathbb{R}^2, se \underline{v}=(v_1,v_2) e \underline{w}=(w_1,w_2), o produto escalar é
\underline{v}\cdot\underline{w}=v_1 w_1 + v_2 w_2.
Aqui v_1 e v_2 são as componentes do vetor \underline{v}, e w_1,w_2 são as componentes de \underline{w}.
  • Aplicando aos vetores dados:
\underline{v}\cdot\underline{w}=1\cdot(-2)+(-2)\cdot(-4).
  • Calculando cada termo:
1\cdot(-2)=-2,\qquad (-2)\cdot(-4)=8.
  • Somando:
\underline{v}\cdot\underline{w}=-2+8=6.

Passo 3

Normas (comprimentos) dos vetores — por que precisamos e como calcular.
  • Relação que vamos usar para o ângulo: para vetores não nulos vale
\underline{v}\cdot\underline{w}=\|\underline{v}\|\,\|\underline{w}\|\cos\theta,
onde \|\underline{v}\| é a norma de \underline{v}, \|\underline{w}\| a norma de \underline{w}, e \theta é o ângulo entre eles.
  • A norma de um vetor (x,y) é definida por
\|(x,y)\|=\sqrt{x^2+y^2}.
Isso vem do teorema de Pitágoras: pensar no vetor como a hipotenusa do triângulo formado pelas componentes.
  • Calcular \|\underline{v}\|:
\|\underline{v}\|=\sqrt{1^2+(-2)^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}.
  • Calcular \|\underline{w}\|:
\|\underline{w}\|=\sqrt{(-2)^2+(-4)^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}.

Passo 4

Encontrar o cosseno do ângulo e o ângulo em si.
  • Usando a relação do produto escalar:
\cos\theta=\dfrac{\underline{v}\cdot\underline{w}}{\|\underline{v}\|\,\|\underline{w}\|}.
  • Substituindo os valores que já achamos:
\cos\theta=\dfrac{6}{\sqrt{5}\cdot 2\sqrt{5}}=\dfrac{6}{2\cdot 5}=\dfrac{6}{10}=\dfrac{3}{5}.
  • Portanto o ângulo satisfaz
\theta=\operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{3}{5}\right).
  • Valor numérico aproximado: usando a função arco cosseno,
\theta\approx 53{,}13^\circ\approx 0{,}9273\\ \text{rad}.
(Arredondei para duas casas decimais nos graus e quatro casas decimais nos radianos.)

Passo 5

Interpretação curta e incentivo.
  • O produto escalar positivo ( 6) indica que o ângulo é agudo ( 0^\circ<\theta<90^\circ), o que está consistente com \cos\theta=3/5>0.
  • Bom trabalho — mesmo se parecia confuso no começo, seguir as fórmulas passo a passo facilita bastante. Continua assim!

Resposta

Produto escalar: \underline{v}\cdot\underline{w}=6
Ângulo entre eles: \theta=\operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{3}{5}\right)\approx 53{,}13^\circ

Exercícios relacionados