Calcule o produto escalar dos seguintes pares de vetores, e o ângulo entre eles.
e
,
Passo 1
O que o problema pede e o que foi dado.
- Pede: calcular o produto escalar entre dois vetores e o ângulo entre eles.
- Dados:
-
. -
.
-
Passo 2
Definição do produto escalar e cálculo passo a passo.
- Lembrete da fórmula: para vetores em
, se e , o produto escalar é
Aqui
e
são as componentes do vetor
, e
são as componentes de
.
- Aplicando aos vetores dados:
- Calculando cada termo:
- Somando:
Passo 3
Normas (comprimentos) dos vetores — por que precisamos e como calcular.
- Relação que vamos usar para o ângulo: para vetores não nulos vale
onde
é a norma de
,
a norma de
, e
é o ângulo entre eles.
- A norma de um vetor
é definida por
Isso vem do teorema de Pitágoras: pensar no vetor como a hipotenusa do triângulo formado pelas componentes.
- Calcular
:
- Calcular
:
Passo 4
Encontrar o cosseno do ângulo e o ângulo em si.
- Usando a relação do produto escalar:
- Substituindo os valores que já achamos:
- Portanto o ângulo satisfaz
- Valor numérico aproximado: usando a função arco cosseno,
(Arredondei para duas casas decimais nos graus e quatro casas decimais nos radianos.)
Passo 5
Interpretação curta e incentivo.
- O produto escalar positivo (
) indica que o ângulo é agudo ( ), o que está consistente com . - Bom trabalho — mesmo se parecia confuso no começo, seguir as fórmulas passo a passo facilita bastante. Continua assim!
Resposta
Produto escalar:
Ângulo entre eles:
Ângulo entre eles: