Calcule o produto escalar dos seguintes pares de vetores, e o ângulo entre eles. \underline{v}=(3,-4,3) e o vetor \underline{w} representado com ponto inicial ( 2,2,1 ) e ponto final (-1,-2,0).
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
Calcular o produto escalar entre os vetores \underline{v} e \underline{w}.
Calcular o ângulo entre \underline{v} e \underline{w}.
As informações dadas no enunciado são:
O vetor \underline{v}=(3,-4,3).
O vetor \underline{w} é descrito por um ponto inicial (2,2,1) e um ponto final (-1,-2,0).
Passo 2
Primeiro é necessário obter as componentes de \underline{w} a partir dos pontos inicial e final. Para obter o vetor que vai do ponto inicial A=(2,2,1) ao ponto final B=(-1,-2,0) calcula-se componente a componente:
Aqui, a_1,a_2,a_3 e b_1,b_2,b_3 são as componentes dos vetores. O produto escalar combina produto componente a componente e soma os resultados. Geometricamente, também vale a fórmula
onde \|\underline{a}\| é o comprimento (norma) de \underline{a}, \|\underline{b}\| é a norma de \underline{b} e \theta é o ângulo entre eles. Vamos primeiro usar a definição componente a componente para achar \underline{v}\cdot\underline{w}.
Passo 4
Aplicando a definição ao nossos vetores \underline{v}=(3,-4,3) e \underline{w}=(-3,-4,-1):
Interpretação rápida (para ajudar na prova): o produto escalar positivo (4) indica que o ângulo é agudo ou um pouco menor que 90^\circ? Como \cos\theta é positivo (\approx 0,1345), o ângulo é menor que 90^\circ — de fato obtivemos cerca de 82^\circ. Isso confirma coerência entre cálculo algébrico e interpretação geométrica.