Calcule o produto escalar dos seguintes pares de vetores, e o ângulo entre eles.
\underline{v}=(3,-4,3) e o vetor \underline{w} representado com ponto inicial ( 2,2,1 ) e ponto final (-1,-2,0).

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Calcular o produto escalar entre os vetores \underline{v} e \underline{w}.
  • Calcular o ângulo entre \underline{v} e \underline{w}.
As informações dadas no enunciado são:
  • O vetor \underline{v}=(3,-4,3).
  • O vetor \underline{w} é descrito por um ponto inicial (2,2,1) e um ponto final (-1,-2,0).

Passo 2

Primeiro é necessário obter as componentes de \underline{w} a partir dos pontos inicial e final. Para obter o vetor que vai do ponto inicial A=(2,2,1) ao ponto final B=(-1,-2,0) calcula-se componente a componente:
\underline{w}=B-A = \bigl(-1-2,\; -2-2,\; 0-1\bigr).
Fazendo as subtrações:
\underline{w}=(-3,-4,-1).

Passo 3

Relembrando a definição do produto escalar (didática):
  • Para dois vetores em \mathbb{R}^3, \underline{a}=(a_1,a_2,a_3) e \underline{b}=(b_1,b_2,b_3), o produto escalar é
\underline{a}\cdot\underline{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3.
Aqui, a_1,a_2,a_3 e b_1,b_2,b_3 são as componentes dos vetores. O produto escalar combina produto componente a componente e soma os resultados. Geometricamente, também vale a fórmula
\underline{a}\cdot\underline{b}=\|\underline{a}\|\,\|\underline{b}\|\cos\theta,
onde \|\underline{a}\| é o comprimento (norma) de \underline{a}, \|\underline{b}\| é a norma de \underline{b} e \theta é o ângulo entre eles. Vamos primeiro usar a definição componente a componente para achar \underline{v}\cdot\underline{w}.

Passo 4

Aplicando a definição ao nossos vetores \underline{v}=(3,-4,3) e \underline{w}=(-3,-4,-1):
\underline{v}\cdot\underline{w}=3\cdot(-3)+(-4)\cdot(-4)+3\cdot(-1).
Calculemos termo a termo:
3\cdot(-3)=-9,\qquad (-4)\cdot(-4)=16,\qquad 3\cdot(-1)=-3.
Somando:
\underline{v}\cdot\underline{w}=-9+16-3=4.

Passo 5

Agora precisamos das normas (comprimentos) dos vetores para obter o ângulo. Recordando: para \underline{a}=(a_1,a_2,a_3),
\|\underline{a}\|=\sqrt{a_1^{2}+a_2^{2}+a_3^{2}}.
Calculemos \|\underline{v}\| e \|\underline{w}\|.
Para \underline{v}=(3,-4,3):
\|\underline{v}\|=\sqrt{3^{2}+(-4)^{2}+3^{2}}=\sqrt{9+16+9}=\sqrt{34}.
Para \underline{w}=(-3,-4,-1):
\|\underline{w}\|=\sqrt{(-3)^{2}+(-4)^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{9+16+1}=\sqrt{26}.
Podemos deixar em forma radical ou dar aproximações:
\sqrt{34}\approx 5,8310,\qquad \sqrt{26}\approx 5,0990.

Passo 6

Usando a relação geométrica do produto escalar:
\underline{v}\cdot\underline{w}=\|\underline{v}\|\,\|\underline{w}\|\cos\theta,
onde \theta é o ângulo entre os vetores. Isolando \cos\theta:
\cos\theta=\dfrac{\underline{v}\cdot\underline{w}}{\|\underline{v}\|\,\|\underline{w}\|}.
Substituindo os valores que já encontramos ( \underline{v}\cdot\underline{w}=4, \|\underline{v}\|=\sqrt{34}, \|\underline{w}\|=\sqrt{26}):
\cos\theta=\dfrac{4}{\sqrt{34}\,\sqrt{26}}=\dfrac{4}{\sqrt{34\cdot26}}=\dfrac{4}{\sqrt{884}}.
Simplificando \sqrt{884}: 884=4\cdot221, logo \sqrt{884}=2\sqrt{221}. Então
\cos\theta=\dfrac{4}{2\sqrt{221}}=\dfrac{2}{\sqrt{221}}.

Passo 7

Agora obtemos o ângulo \theta aplicando a função arco cosseno:
\theta=\operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{2}{\sqrt{221}}\right).
Para uma apreciação numérica, calculemos a aproximação decimal (usar tabela ou calculadora de bolso na prova):
\sqrt{221}\approx 14,8661,\qquad \dfrac{2}{\sqrt{221}}\approx 0,13449.
Logo
\theta\approx \operatorname{arccos}(0,13449)\approx 1,4363\\ \text{rad}\approx 82,31^\circ.

Passo 8

Interpretação rápida (para ajudar na prova): o produto escalar positivo ( 4) indica que o ângulo é agudo ou um pouco menor que 90^\circ? Como \cos\theta é positivo ( \approx 0,1345), o ângulo é menor que 90^\circ — de fato obtivemos cerca de 82^\circ. Isso confirma coerência entre cálculo algébrico e interpretação geométrica.

Resposta

\underline{v}\cdot\underline{w}=4
\theta=\operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{2}{\sqrt{221}}\right)\approx 1,4363\\ \text{rad}\approx 82,31^\circ

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