A reta L_{1}:(x, y)=(1,3)+t(2,-6), t \in \mathbb{R} forma com os eixos coordenados um triângulo de área A_{1}. Se L_{2} / / L_{1} e forma com os eixos coordenados um triângulo de área A_{2} tal que A_{1}=4 A_{2}, encontre a equação vetorial de L_{2}.

Passo 1

O enunciado dá a reta
\(x,y\)=(1,3)+t\,(2,-6),\ t\in\mathbb{R},
cujo vetor diretor é (2,-6). Ela intercepta os eixos coordenados formando um triângulo de área A_1. Queremos outra reta L_2 paralela a L_1, de mesmo vetor diretor, que forme um triângulo de área A_2 satisfazendo
A_1 = 4A_2.
O conteúdo aqui envolve encontrar interceptos de reta com eixos, calcular área de triângulo e resolver para a nova reta paralela.

Passo 2

Primeiro, achamos os interceptos de L_1. Como (x,y)=(1+2t,\,3-6t):
  • Intercepto em x (quando y=0):
    3-6t=0\implies t=\tfrac12, daí x=1+2\cdot\tfrac12=2. Ponto (2,0).
  • Intercepto em y (quando x=0):
    1+2t=0\implies t=-\tfrac12, daí y=3-6(-\tfrac12)=6. Ponto (0,6).

Passo 3

A área A_1 do triângulo de vértices (0,0), (2,0), (0,6) é
A_1 = \frac{1}{2}\times 2 \times 6 = 6.

Passo 4

Como A_1=4A_2, temos
6 = 4A_2 \quad\Longrightarrow\quad A_2 = \tfrac{6}{4} = \tfrac{3}{2}.

Passo 5

Uma reta paralela a L_1 terá o mesmo coeficiente angular -3, então pode ser escrita em forma reduzida como
y = -3x + b.
Se os interceptos forem (x_0,0) e (0,y_0), então y_0=b e x_0=\tfrac{b}{3}. A área do triângulo formado é
A = \frac12\,x_0\,y_0 = \frac12\cdot\frac{b}{3}\cdot b = \frac{b^2}{6}.
Queremos \tfrac{b^2}{6}=A_2=\tfrac{3}{2}, daí
b^2 = 9 \quad\Longrightarrow\quad b = 3 \quad\text{ou}\quad b = -3.

Passo 6

Cada valor de b dá uma reta L_2. Como vetor diretor escolhemos (2,-6) de L_1:
  • Para b=3, um ponto na reta é (0,3), então
L_2:\;(x,y) = (0,3) + t\,(2,-6),\\ t\in\mathbb{R}.
  • Para b=-3, um ponto é (0,-3), então
L_2:\;(x,y) = (0,-3) + t\,(2,-6),\\ t\in\mathbb{R}.

Resposta

As retas paralelas a L_1 que formam triângulos de área \tfrac{3}{2} são
\boxed{ L_2:\;(x,y) = (0,3) + t\,(2,-6) \quad\text{ou}\quad (x,y) = (0,-3) + t\,(2,-6), \;t\in\mathbb{R}. }

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