Calcule o produto vetorial \vec{a} \times \vec{b}, sendo os vetores \vec{a} e \vec{b} abaixo.
\vec{a}=(5,-3,4) e \vec{b}=(4,-2,5)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o produto vetorial de \vec{a} e \vec{b}, isto é, \vec{a}\times\vec{b}, onde \vec{a}=(5,-3,4) e \vec{b}=(4,-2,5). Vamos usar a definição via determinante de uma matriz 3\times3 com as bases \mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}.

Passo 2

Escrevemos o produto vetorial como determinante:
\vec{a}\times\vec{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\[6pt] 5 & -3 & 4 \\[4pt] 4 & -2 & 5 \end{vmatrix}.]

Passo 3

Expandindo essa determinante pelos cofatores da primeira linha, obtemos:
\vec{a}\times\vec{b} = \mathbf{i}\,( (-3)\cdot5 - 4\cdot(-2) ) - \mathbf{j}\,( 5\cdot5 - 4\cdot4 ) + \mathbf{k}\,( 5\cdot(-2) - (-3)\cdot4 ).
Agora calculamos cada termo:
(-3)\cdot5 - 4\cdot(-2) = -15 + 8 = -7,
5\cdot5 - 4\cdot4 = 25 - 16 = 9,
5\cdot(-2) - (-3)\cdot4 = -10 + 12 = 2.

Passo 4

Substituindo esses valores, fica
\vec{a}\times\vec{b} = -7\,\mathbf{i} - 9\,\mathbf{j} + 2\,\mathbf{k},
ou, em coordenadas,
\vec{a}\times\vec{b} = (-7,\,-9,\,2).

Resposta

\displaystyle (-7,\,-9,\,2)

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