Calcule os produtos notáveis a seguir:
(2 u+7 v)^{2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular (expandir e simplificar) a expressão (2u+7v)^{2}.
Informações dadas:
  • A expressão a ser trabalhada é (2u+7v)^{2}.
  • Não há mais restrições ou valores numéricos; a resposta deve ficar em termos de u e v.

Passo 2

Vamos lembrar a fórmula padrão que vale para quaisquer expressões a e b:
(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.
Explicando essa fórmula: ela diz que o quadrado de uma soma é igual à soma do quadrado do primeiro termo, mais duas vezes o produto dos dois termos, mais o quadrado do segundo termo. Em termos de significado: a^{2} é a multiplicado por a; 2ab é duas cópias do produto a\cdot b; b^{2} é b multiplicado por b.

Passo 3

Identificamos os termos a e b na nossa expressão comparando com a fórmula:
a = 2u,\qquad b = 7v.
Agora aplicamos a fórmula com esses a e b.

Passo 4

Calculamos a^{2}:
a^{2}=(2u)^{2}.
Usando a propriedade de potências (k\cdot x)^{2}=k^{2}\cdot x^{2}, temos
(2u)^{2}=2^{2}\cdot u^{2}=4u^{2}.
Aqui 2^{2}=4 e u^{2} significa u\cdot u.

Passo 5

Calculamos 2ab:
2ab=2\cdot(2u)\cdot(7v).
Agrupando os coeficientes numéricos e as variáveis:
2\cdot(2)\cdot(7)\cdot u\cdot v = (2\cdot2\cdot7)\,uv = 28\,uv.
Então 2ab=28uv. Note que uv é o mesmo que u\cdot v.

Passo 6

Calculamos b^{2}:
b^{2}=(7v)^{2}=7^{2}\cdot v^{2}=49v^{2}.
Aqui 7^{2}=49 e v^{2}=v\cdot v.

Passo 7

Somamos os três termos obtidos seguindo a fórmula:
a^{2}+2ab+b^{2}=4u^{2}+28uv+49v^{2}.
Não há termos semelhantes a combinar além desses, então essa é a forma final simplificada.

Resposta

4u^{2}+28uv+49v^{2}

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