\int(1+x)^{\frac{2}{3}} d x \
Passo 1
O enunciado pede para calcular a primitiva (integral indefinida) da função
. Ou seja, encontrar uma função
tal que
A informação dada é apenas a expressão integranda
. A resposta pedida é uma antiderivada mais a constante de integração
.
Passo 2
Uma ideia natural é simplificar a expressão usando uma substituição. Seja
Vou explicitar por que essa substituição funciona: quando se define
, então
. No nosso caso
, logo
Substituindo na integral, a variável
desaparece e a integral fica em função de
:
Passo 3
Agora usamos a regra de potência para integrais. A regra diz que, para qualquer
,
Breve justificativa: a derivada de
é
, então essa função é uma primitiva de
.
No nosso caso
. Então
Aplicando a fórmula,
Passo 4
Simplifico a fração dividindo por
, o que é multiplicar por
:
Voltando à variável original
(substituindo
),
Passo 5
Verificação rápida (sempre bom fazer na prova): derivando a resposta obtida deve-se recuperar o integrando. Pela regra da cadeia,
Isso confirma que a primitiva está correta.
Passo 6
Dica prática: para integrais do tipo
com
, existe a fórmula direta
que é exatamente o mesmo procedimento de usar a substituição
. No problema dado
e
, então a fórmula dá o mesmo resultado.