\int(1+x)^{\frac{2}{3}} d x \

Passo 1

O enunciado pede para calcular a primitiva (integral indefinida) da função (1+x)^{\frac{2}{3}}. Ou seja, encontrar uma função F(x) tal que
F'(x) = (1+x)^{\frac{2}{3}}.
A informação dada é apenas a expressão integranda (1+x)^{\frac{2}{3}}. A resposta pedida é uma antiderivada mais a constante de integração C.

Passo 2

Uma ideia natural é simplificar a expressão usando uma substituição. Seja
u = 1+x.
Vou explicitar por que essa substituição funciona: quando se define u=g(x), então du = g'(x)\,dx. No nosso caso g'(x)=1, logo
du = dx.
Substituindo na integral, a variável x desaparece e a integral fica em função de u:
\int (1+x)^{\frac{2}{3}}\,dx = \int u^{\frac{2}{3}}\,du.

Passo 3

Agora usamos a regra de potência para integrais. A regra diz que, para qualquer n \neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C.
Breve justificativa: a derivada de \dfrac{u^{n+1}}{n+1} é \dfrac{n+1}{n+1}u^{n}=u^{n}, então essa função é uma primitiva de u^{n}.
No nosso caso n=\tfrac{2}{3}. Então
n+1 = \frac{2}{3}+1 = \frac{5}{3}.
Aplicando a fórmula,
\int u^{\frac{2}{3}}\,du = \frac{u^{\frac{5}{3}}}{\tfrac{5}{3}} + C.

Passo 4

Simplifico a fração dividindo por \tfrac{5}{3}, o que é multiplicar por \tfrac{3}{5}:
\frac{u^{\frac{5}{3}}}{\tfrac{5}{3}} = \frac{3}{5}\,u^{\frac{5}{3}}.
Voltando à variável original x (substituindo u=1+x),
\int (1+x)^{\frac{2}{3}}\,dx = \frac{3}{5}\,(1+x)^{\frac{5}{3}} + C.

Passo 5

Verificação rápida (sempre bom fazer na prova): derivando a resposta obtida deve-se recuperar o integrando. Pela regra da cadeia,
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{3}{5}(1+x)^{\frac{5}{3}}\right) = \frac{3}{5}\cdot\frac{5}{3}(1+x)^{\frac{2}{3}}\cdot 1 = (1+x)^{\frac{2}{3}}.
Isso confirma que a primitiva está correta.

Passo 6

Dica prática: para integrais do tipo \int (ax+b)^{n}\,dx com n\neq-1, existe a fórmula direta
\int (ax+b)^{n}\,dx = \frac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)} + C,
que é exatamente o mesmo procedimento de usar a substituição u=ax+b. No problema dado a=1 e b=1, então a fórmula dá o mesmo resultado.

Resposta

\displaystyle \frac{3}{5}(1+x)^{\frac{5}{3}}+C

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