Q7: Calcule a projeção ortogonal de ( (2,-10,-1,5) ) sobre a reta gerada pelo vetor ((1,-3,0,2)).
(A) (1,-3,0,2)
(B) (2,-6,0,4)
(C) (3,-9,0,6)
(D) (4,-12,0,8)
(E) Não sei
(A) (1,-3,0,2)
(B) (2,-6,0,4)
(C) (3,-9,0,6)
(D) (4,-12,0,8)
(E) Não sei
Passo 1
O enunciado dá o vetor a ser projetado e o gerador da reta e pede a projeção ortogonal do primeiro sobre a reta gerada pelo segundo. Os dados são:
- Vetor a ser projetado:
. - Vetor que gera a reta:
.
A pergunta é: qual é a projeção ortogonal de
sobre a reta gerada por
? As alternativas fornecidas são:
(A)
(B)
(C)
(D)
(E) Não sei
(A)
(B)
(C)
(D)
(E) Não sei
Passo 2
Primeiro preciso calcular o produto escalar (dot product) entre
e
. Lembrete rápido: para
e
define-se
Aplicando isso a
e
:
Agora faço as multiplicações e somo, passo a passo:
Somando:
Passo 3
Preciso também do produto escalar
(que é o quadrado da norma de
). Calculo:
Passo 4
Agora uso a fórmula da projeção ortogonal de
sobre a reta gerada por
. A fórmula é: se a reta é
, então
Explicando em palavras: multiplica-se
por um escalar
de modo que
fique ortogonal a
; resolvendo
obtém-se
.
Passo 5
Calculo o escalar
:
Multiplico
por
:
Passo 6
Faço uma verificação rápida:
.
O produto escalar com é
O produto escalar com
logo
é ortogonal a
, confirmação de que o cálculo está correto.
Passo 7
Comparando o vetor obtido
com as alternativas, corresponde à alternativa (C).
Resposta
(C)