Q7: Calcule a projeção ortogonal de ( (2,-10,-1,5) ) sobre a reta gerada pelo vetor ((1,-3,0,2)).
(A) (1,-3,0,2)
(B) (2,-6,0,4)
(C) (3,-9,0,6)
(D) (4,-12,0,8)
(E) Não sei

Passo 1

O enunciado dá o vetor a ser projetado e o gerador da reta e pede a projeção ortogonal do primeiro sobre a reta gerada pelo segundo. Os dados são:
  • Vetor a ser projetado: \mathbf{u} = (2,-10,-1,5).
  • Vetor que gera a reta: \mathbf{v} = (1,-3,0,2).
A pergunta é: qual é a projeção ortogonal de \mathbf{u} sobre a reta gerada por \mathbf{v}? As alternativas fornecidas são:
(A) (1,-3,0,2)
(B) (2,-6,0,4)
(C) (3,-9,0,6)
(D) (4,-12,0,8)
(E) Não sei

Passo 2

Primeiro preciso calcular o produto escalar (dot product) entre \mathbf{u} e \mathbf{v}. Lembrete rápido: para \mathbf{x}=(x_1,\dots,x_n) e \mathbf{y}=(y_1,\dots,y_n) define-se
\mathbf{x}\cdot\mathbf{y}=x_1y_1+x_2y_2+\cdots+x_ny_n.
Aplicando isso a \mathbf{u} e \mathbf{v}:
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v} = 2\cdot1 + (-10)\cdot(-3) + (-1)\cdot0 + 5\cdot2.
Agora faço as multiplicações e somo, passo a passo:
2\cdot1 = 2,\qquad (-10)\cdot(-3)=30,\qquad (-1)\cdot0=0,\qquad 5\cdot2=10.
Somando:
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v} = 2+30+0+10 = 42.

Passo 3

Preciso também do produto escalar \mathbf{v}\cdot\mathbf{v} (que é o quadrado da norma de \mathbf{v}). Calculo:
\mathbf{v}\cdot\mathbf{v} = 1^2 + (-3)^2 + 0^2 + 2^2 = 1 + 9 + 0 + 4 = 14.

Passo 4

Agora uso a fórmula da projeção ortogonal de \mathbf{u} sobre a reta gerada por \mathbf{v}. A fórmula é: se a reta é \text{span}\{\mathbf{v}\}, então
\mathrm{proj}_{\mathbf{v}}(\mathbf{u}) = \frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{\mathbf{v}\cdot\mathbf{v}}\,\mathbf{v}.
Explicando em palavras: multiplica-se \mathbf{v} por um escalar \alpha de modo que \mathbf{u}-\alpha\mathbf{v} fique ortogonal a \mathbf{v}; resolvendo (\mathbf{u}-\alpha\mathbf{v})\cdot\mathbf{v}=0 obtém-se \alpha=(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v})/(\mathbf{v}\cdot\mathbf{v}).

Passo 5

Calculo o escalar \alpha:
\alpha=\frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{\mathbf{v}\cdot\mathbf{v}}=\frac{42}{14}=3.
Multiplico \mathbf{v} por \alpha=3:
\mathrm{proj}_{\mathbf{v}}(\mathbf{u}) = 3\cdot(1,-3,0,2) = (3,-9,0,6).

Passo 6

Faço uma verificação rápida: \mathbf{u}-\mathrm{proj}_{\mathbf{v}}(\mathbf{u}) = (2,-10,-1,5)-(3,-9,0,6)=(-1,-1,-1,-1).
O produto escalar com \mathbf{v} é
(-1,-1,-1,-1)\cdot(1,-3,0,2)= -1 + 3 + 0 -2 = 0,
logo \mathbf{u}-\mathrm{proj}_{\mathbf{v}}(\mathbf{u}) é ortogonal a \mathbf{v}, confirmação de que o cálculo está correto.

Passo 7

Comparando o vetor obtido (3,-9,0,6) com as alternativas, corresponde à alternativa (C).

Resposta

(C) (3,-9,0,6)

Exercícios relacionados