Q18: Considere os subespaços de
:
Encontre o único vetor
da forma
. O valor de
é:
(A) -7
(B) -6
(C) -5
(D) -4
(E) -3
(F) -2
(G) -1
(H) 0
(A) -7
(B) -6
(C) -5
(D) -4
(E) -3
(F) -2
(G) -1
(H) 0
Passo 1
O enunciado dá os subespaços de
:
e
Pede-se encontrar o único vetor
que tem a forma
. A pergunta final é: qual é o valor de
? (estão dadas as alternativas de
entre
e
).
Informações relevantes fornecidas:
- Geradores de
: e . - Gerador de
: . - Queremos
que pertence simultaneamente a e a , e cuja primeira coordenada é .
Passo 2
Estratégia e conceitos básicos (rápida aula):
- Um vetor pertence a
se e só se ele pode ser escrito como combinação linear para alguns escalares . - O subespaço
é o conjunto de vetores ortogonais a todo vetor de . Como é gerado por , basta exigir . - Produto escalar em
: para e , .
Vamos parametrizare impor as duas condições: (i) primeira coordenada e (ii) ortogonalidade a .
Passo 3
Parametrização de
.
Denotar e
. Qualquer
pode ser escrita como
Denotar
Calculando coordenadas obtém-se
Passo 4
Impor que a primeira coordenada vale
.
Da expressão da coordenada 1 temos
Da expressão da coordenada 1 temos
Essa é a primeira equação que relaciona
e
.
Passo 5
Impor a condição de ortogonalidade a
.
Queremos . Como a forma pedida para
é
, o produto escalar é
Queremos
A condição
dá
Passo 6
Substituir as coordenadas de
obtidas em Passo 3 na relação de Passo 5.
Da parametrização em termos de temos
e
. Substituindo na igualdade
obtemos:
Da parametrização em termos de
Desenvolvendo o lado direito:
Simplificando ambos os lados (subtrair
de ambos lados):
Agora usar a equação do Passo 4 para achar
:
Passo 7
Calcular
e
com
e
.
Usando e
:
Usando
Verificação rápida: o vetor
pertence a
pois é
, e
, logo está em
. A solução é única porque as duas equações lineares em
tiveram solução única.
Resposta
(G)