Q18: Considere os subespaços de \mathbb{R}^{3} :
H=\operatorname{span}\{(1,1,3),(-2,-1,-4)\} \mathrm{e}
M=\operatorname{span}\{(-1,-4,1)\}
Encontre o único vetor \vec{x} \in M^{\perp} \cap H da forma \vec{x}=\left(-1, x_{2}, x_{3}\right). O valor de x_{3} é:
(A) -7
(B) -6
(C) -5
(D) -4
(E) -3
(F) -2
(G) -1
(H) 0

Passo 1

O enunciado dá os subespaços de \mathbb{R}^3:
H=\operatorname{span}\{(1,1,3),(-2,-1,-4)\}
e
M=\operatorname{span}\{(-1,-4,1)\}.
Pede-se encontrar o único vetor \vec{x}\in M^{\perp}\cap H que tem a forma \vec{x}=(-1,x_{2},x_{3}). A pergunta final é: qual é o valor de x_{3}? (estão dadas as alternativas de x_{3} entre -7 e 0).
Informações relevantes fornecidas:
  • Geradores de H: (1,1,3) e (-2,-1,-4).
  • Gerador de M: (-1,-4,1).
  • Queremos \vec{x} que pertence simultaneamente a H e a M^{\perp}, e cuja primeira coordenada é -1.

Passo 2

Estratégia e conceitos básicos (rápida aula):
  • Um vetor pertence a H=\operatorname{span}\{v_{1},v_{2}\} se e só se ele pode ser escrito como combinação linear \vec{x}=a v_{1}+b v_{2} para alguns escalares a,b.
  • O subespaço M^{\perp} é o conjunto de vetores ortogonais a todo vetor de M. Como M é gerado por w=(-1,-4,1), basta exigir \vec{x}\cdot w=0.
  • Produto escalar em \mathbb{R}^3: para \vec{u}=(u_1,u_2,u_3) e \vec{v}=(v_1,v_2,v_3), \vec{u}\cdot\vec{v}=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3.
    Vamos parametrizar H e impor as duas condições: (i) primeira coordenada -1 e (ii) ortogonalidade a w.

Passo 3

Parametrização de H.
Denotar v_{1}=(1,1,3) e v_{2}=(-2,-1,-4). Qualquer \vec{x}\in H pode ser escrita como
\vec{x}=a v_{1}+b v_{2}=a(1,1,3)+b(-2,-1,-4).
Calculando coordenadas obtém-se
\vec{x}=(a-2b,\;a-b,\;3a-4b).

Passo 4

Impor que a primeira coordenada vale -1.
Da expressão da coordenada 1 temos
a-2b=-1.
Essa é a primeira equação que relaciona a e b.

Passo 5

Impor a condição de ortogonalidade a w=(-1,-4,1).
Queremos \vec{x}\cdot w=0. Como a forma pedida para \vec{x} é (-1,x_{2},x_{3}), o produto escalar é
(-1,x_{2},x_{3})\cdot(-1,-4,1)=(-1)(-1)+x_{2}(-4)+x_{3}(1)=1-4x_{2}+x_{3}.
A condição \vec{x}\cdot w=0
1-4x_{2}+x_{3}=0\quad\Rightarrow\quad x_{3}=4x_{2}-1.

Passo 6

Substituir as coordenadas de \vec{x} obtidas em Passo 3 na relação de Passo 5.
Da parametrização em termos de a,b temos x_{2}=a-b e x_{3}=3a-4b. Substituindo na igualdade x_{3}=4x_{2}-1 obtemos:
3a-4b=4(a-b)-1.
Desenvolvendo o lado direito:
3a-4b=4a-4b-1.
Simplificando ambos os lados (subtrair 3a-4b de ambos lados):
0 = a -1 \quad\Rightarrow\quad a=1.
Agora usar a equação do Passo 4 para achar b:
a-2b=-1 \quad\Rightarrow\quad 1-2b=-1 \quad\Rightarrow\quad -2b=-2 \quad\Rightarrow\quad b=1.

Passo 7

Calcular x_{2} e x_{3} com a=1 e b=1.
Usando x_{2}=a-b e x_{3}=3a-4b:
x_{2}=1-1=0, \qquad x_{3}=3\cdot1-4\cdot1=3-4=-1.
Verificação rápida: o vetor (-1,0,-1) pertence a H pois é 1\cdot v_{1}+1\cdot v_{2}, e (-1,0,-1)\cdot(-1,-4,1)=1+0-1=0, logo está em M^{\perp}. A solução é única porque as duas equações lineares em a,b tiveram solução única.

Resposta

(G) -1

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