Q5: Considere as afirmativas abaixo:
I - Existe uma matriz
com posto igual a 1 e dimensão do núcleo igual a 7 .
II - Existe uma transformação linear
com dimensão do núcleo igual a 1 .
(A) Todas são verdadeiras.
(B) Apenas II é verdadeira.
(C) Todas são falsas.
(D) Apenas I é verdadeira.
(E) Não sei
I - Existe uma matriz
II - Existe uma transformação linear
(A) Todas são verdadeiras.
(B) Apenas II é verdadeira.
(C) Todas são falsas.
(D) Apenas I é verdadeira.
(E) Não sei
Passo 1
Listar claramente o que o enunciado dá e o que pede:
- Afirmação I: Existe uma matriz
com posto igual a e dimensão do núcleo igual a . - Afirmação II: Existe uma transformação linear
com dimensão do núcleo igual a . - O que o enunciado pede: decidir a veracidade de I e II e, a partir disso, escolher a alternativa correta entre (A)–(E).
Passo 2
Apresentar a ferramenta principal e explicar o que ela significa (aula rápida e intuitiva).
- Teorema do posto-nulidade (rank–nullity): para uma transformação linear
onde é de dimensão finita, vale
- Interpretação das quantidades:
-
é a dimensão do núcleo (nullidade): número de graus de liberdade das soluções . -
é a dimensão da imagem (posto): quantos vetores linearmente independentes aparecem como imagens. -
é a dimensão do espaço de partida (domínio).
-
- Para uma matriz
vista como transformação linear , a fórmula fica
pois o domínio é
.
Passo 3
Explicar outra restrição importante sobre o posto (por que ele não pode ser qualquer número).
- O posto de uma matriz
satisfaz sempre
- Intuição: não se pode ter mais vetores independentes na imagem do que a dimensão do espaço de chegada (
), nem mais do que o número de colunas ( ) permite.
Passo 4
Aplicar as fórmulas e restrições à Afirmação I (matriz
) passo a passo.
- Para
o domínio é . Pelo teorema do posto-nulidade:
- Se
, então
- A afirmação I diz que
. Comparando, , portanto essa combinação e é impossível. - Conclusão parcial: Afirmação I é falsa.
Passo 5
Aplicar as fórmulas e restrições à Afirmação II (
) passo a passo.
- Pelo teorema do posto-nulidade para
:
- Se
, então
- Mas pelo limite do posto temos
. Logo não é possível ter . - Conclusão parcial: Afirmação II também é impossível, logo é falsa.
Passo 6
Juntar as conclusões e responder a questão múltipla escolha.
- Afirmação I: falsa.
- Afirmação II: falsa.
- Portanto, a alternativa correta é a que diz que todas são falsas.
Resposta
(C) Todas são falsas.