Q5: Considere as afirmativas abaixo:
I - Existe uma matriz A_{8 \times 14} com posto igual a 1 e dimensão do núcleo igual a 7 .
II - Existe uma transformação linear T: \mathbb{R}^{10} \rightarrow \mathbb{R}^{4} com dimensão do núcleo igual a 1 .
(A) Todas são verdadeiras.
(B) Apenas II é verdadeira.
(C) Todas são falsas.
(D) Apenas I é verdadeira.
(E) Não sei

Passo 1

Listar claramente o que o enunciado dá e o que pede:
  • Afirmação I: Existe uma matriz \,A_{8\times14}\, com posto igual a \,1\, e dimensão do núcleo igual a \,7.
  • Afirmação II: Existe uma transformação linear \,T:\mathbb{R}^{10}\to\mathbb{R}^{4}\, com dimensão do núcleo igual a \,1.
  • O que o enunciado pede: decidir a veracidade de I e II e, a partir disso, escolher a alternativa correta entre (A)–(E).

Passo 2

Apresentar a ferramenta principal e explicar o que ela significa (aula rápida e intuitiva).
  • Teorema do posto-nulidade (rank–nullity): para uma transformação linear \,T: V\to W\, onde V é de dimensão finita, vale
\dim(\ker T)+\operatorname{rank}(T)=\dim(V).
  • Interpretação das quantidades:
    • \dim(\ker T) é a dimensão do núcleo (nullidade): número de graus de liberdade das soluções T(v)=0.
    • \operatorname{rank}(T) é a dimensão da imagem (posto): quantos vetores linearmente independentes aparecem como imagens.
    • \dim(V) é a dimensão do espaço de partida (domínio).
  • Para uma matriz \,A_{m\times n} vista como transformação linear \,A:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m, a fórmula fica
\dim(\ker A)+\operatorname{rank}(A)=n,
pois o domínio é \mathbb{R}^n.

Passo 3

Explicar outra restrição importante sobre o posto (por que ele não pode ser qualquer número).
  • O posto de uma matriz \,A_{m\times n}\, satisfaz sempre
\operatorname{rank}(A)\le \min\{m,n\}.
  • Intuição: não se pode ter mais vetores independentes na imagem do que a dimensão do espaço de chegada ( m), nem mais do que o número de colunas ( n) permite.

Passo 4

Aplicar as fórmulas e restrições à Afirmação I (matriz \,8\times14) passo a passo.
  • Para \,A_{8\times14} o domínio é \mathbb{R}^{14}. Pelo teorema do posto-nulidade:
\dim(\ker A)+\operatorname{rank}(A)=14.
  • Se \operatorname{rank}(A)=1, então
\dim(\ker A)=14-1=13.
  • A afirmação I diz que \dim(\ker A)=7. Comparando, 13\neq 7, portanto essa combinação \operatorname{rank}(A)=1 e \dim(\ker A)=7 é impossível.
  • Conclusão parcial: Afirmação I é falsa.

Passo 5

Aplicar as fórmulas e restrições à Afirmação II ( T:\mathbb{R}^{10}\to\mathbb{R}^{4}) passo a passo.
  • Pelo teorema do posto-nulidade para T:
\dim(\ker T)+\operatorname{rank}(T)=10.
  • Se \dim(\ker T)=1, então
\operatorname{rank}(T)=10-1=9.
  • Mas pelo limite do posto temos \operatorname{rank}(T)\le\dim(\mathbb{R}^4)=4. Logo não é possível ter \operatorname{rank}(T)=9.
  • Conclusão parcial: Afirmação II também é impossível, logo é falsa.

Passo 6

Juntar as conclusões e responder a questão múltipla escolha.
  • Afirmação I: falsa.
  • Afirmação II: falsa.
  • Portanto, a alternativa correta é a que diz que todas são falsas.

Resposta

(C) Todas são falsas.

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