Calcule a projeção ortogonal de u sobre v quando u=( 1,1) e v=(1,0)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a projeção ortogonal do vetor u = (1, 1) sobre o vetor v = (1, 0). Pra isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, especificamente a fórmula da projeção de um vetor sobre outro. Vamos precisar entender como funciona o produto escalar e como aplicá-lo na fórmula da projeção.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da projeção ortogonal de u sobre v, que é dada por:
projv u = ( u cdot vv cdot v ) v
Aqui, u cdot v é o produto escalar entre u e v, e v cdot v é o produto escalar de v consigo mesmo, que também representa o quadrado do módulo de v.

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar u cdot v. O produto escalar de dois vetores (a, b) e (c, d) é dado por:
u cdot v = a cdot c + b cdot d
Aplicando os valores:
u cdot v = 1 cdot 1 + 1 cdot 0 = 1 + 0 = 1

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto escalar v cdot v:
v cdot v = 1 cdot 1 + 0 cdot 0 = 1 + 0 = 1

Passo 5

Com os valores encontrados, substituímos na fórmula da projeção:
projv u = ( 11 ) v = 1 cdot v = v

Passo 6

Então, a projeção ortogonal de u sobre v é simplesmente o próprio vetor v = (1, 0).

Resposta

A projeção ortogonal de u = (1, 1) sobre v = (1, 0) é projv u = (1, 0).

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