Prove que u cdot v=0 Leftrightarrow|u+v|=|u-v|

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão quer que a gente prove que o produto escalar de dois vetores e é zero se e somente se a norma da soma desses vetores é igual à norma da diferença . Isso está na área de Álgebra Vetorial, onde usamos conceitos como produto escalar e normas de vetores. Vamos precisar lembrar como calcular essas normas e entender o que significa o produto escalar ser zero.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Quando o produto escalar de dois vetores é zero, isso quer dizer que eles são ortogonais, ou seja, formam um ângulo de 90 graus entre si. Esse é um ponto importante para a gente usar na prova.

Passo 3

Agora, vamos calcular a norma de e a norma de . A norma de um vetor é dada por . Então, a gente vai expandir essas expressões usando o produto escalar.

Passo 4

Vamos calcular |u + v|^2 = (u + v) cdot (u + v) = u cdot u + 2u cdot v + v cdot v :
Aqui, usamos a distributiva do produto escalar para expandir.

Passo 5

Agora, vamos calcular |u - v|^2 = (u - v) cdot (u - v) = u cdot u - 2u cdot v + v cdot v :
Mais uma vez, expandimos usando a distributiva do produto escalar.

Passo 6

Agora, para que as normas sejam iguais, precisamos que:
|u + v|^2 = |u - v|^2
Substituindo as expressões que encontramos:
u cdot u + 2u cdot v + v cdot v = u cdot u - 2u cdot v + v cdot v

Passo 7

Simplificando a equação, notamos que 2u cdot v = -2u cdot v e aparecem nos dois lados e se cancelam:

Passo 8

Vamos somar 4u cdot v = 0 em ambos os lados para isolar o termo:
u cdot v = 0
Dividindo ambos os lados por 4:

Resposta

Dessa forma, mostramos que se e somente se . Ou seja, os vetores e são ortogonais exatamente quando as normas da soma e da diferença deles são iguais.

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