Prove que
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão quer que a gente prove que o produto escalar de dois vetores
e
é zero se e somente se a norma da soma desses vetores
é igual à norma da diferença
. Isso está na área de Álgebra Vetorial, onde usamos conceitos como produto escalar e normas de vetores. Vamos precisar lembrar como calcular essas normas e entender o que significa o produto escalar ser zero.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Quando o produto escalar de dois vetores é zero, isso quer dizer que eles são ortogonais, ou seja, formam um ângulo de 90 graus entre si. Esse é um ponto importante para a gente usar na prova.
Passo 3
Agora, vamos calcular a norma de
e a norma de
. A norma de um vetor
é dada por
. Então, a gente vai expandir essas expressões usando o produto escalar.
Passo 4
Vamos calcular
:
Aqui, usamos a distributiva do produto escalar para expandir.
Passo 5
Agora, vamos calcular
:
Mais uma vez, expandimos usando a distributiva do produto escalar.
Passo 6
Agora, para que as normas sejam iguais, precisamos que:
Substituindo as expressões que encontramos:
Passo 7
Simplificando a equação, notamos que
e
aparecem nos dois lados e se cancelam:
Passo 8
Vamos somar
em ambos os lados para isolar o termo:
Dividindo ambos os lados por 4:
Resposta
Dessa forma, mostramos que
se e somente se
. Ou seja, os vetores
e
são ortogonais exatamente quando as normas da soma e da diferença deles são iguais.