Calcule a projeção ortogonal do vetor u in V sobre o vetor v in V no produto interno indicado:
c) u=f:[-1,1] R in C([-1,1] R) e v=g:[-1,1] R in C([-1,1] R) dados por f(t)=t e g(t)=cos (pi t), com produto interno em C([-1,1] R) dado por
lang<= h1, h2rang<==integral-1^1 h1(t) h2(t) d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta é sobre projeção ortogonal de um vetor sobre outro vetor em um espaço de funções contínuas no intervalo . A gente vai usar conceitos de produto interno e integração para chegar na resposta. Precisamos calcular o produto interno entre e , o produto interno de consigo mesmo, e depois aplicar a fórmula da projeção.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a projeção ortogonal de projv(u) = ( lang<= u, v rang<=lang<= v, v rang<= ) v sobre . A fórmula é:
Aqui, representa o produto interno entre e , e é o produto interno de consigo mesmo.

Passo 3

Vamos calcular lang<= u, v rang<= = integral-1^1 u(t) cdot v(t) , dt = integral-1^1 t cdot cos(pi t) , dt . Pelo enunciado, temos:
du = dt e v = sin(pi t)pi
Para resolver essa integral, vamos usar integração por partes, onde escolhemos integral t cos(pi t) , dt = t cdot sin(pi t)pi - integral sin(pi t)pi , dt e integral sin(pi t)pi , dt = -cos(pi t)pi^2 .
Calculando as derivadas e integrais necessárias:
integral t cos(pi t) , dt = t sin(pi t)pi + cos(pi t)pi^2 + C
Aplicando a fórmula de integração por partes:
lang<= u, v rang<= = [ t sin(pi t)pi + cos(pi t)pi^2 ]-1^1
Calculando a segunda integral:
1 cdot sin(pi)pi + cos(pi)pi^2 = 0 - 1pi^2
Então, a integral fica:
-1 cdot sin(-pi)pi + cos(-pi)pi^2 = 0 - 1pi^2
Agora, avaliando de lang<= u, v rang<= = ( -1pi^2 ) - ( -1pi^2 ) = 0 a :
Calculando nos limites:
Para :
Para :
Subtraindo:

Passo 4

Agora, vamos calcular lang<= v, v rang<= = integral-1^1 v(t) cdot v(t) , dt = integral-1^1 cos^2(pi t) , dt :
cos^2(x) = 1 + cos(2x)2
Usamos a identidade trigonométrica:
integral-1^1 cos^2(pi t) , dt = integral-1^1 1 + cos(2pi t)2 , dt = 12 integral-1^1 1 , dt + 12 integral-1^1 cos(2pi t) , dt
Aplicando isso:
12 integral-1^1 1 , dt = 12 cdot (1 - (-1)) = 12 cdot 2 = 1
Calculando cada parte:
12 integral-1^1 cos(2pi t) , dt = 12 cdot [ sin(2pi t)2pi ]-1^1 = 12 cdot (0 - 0) = 0
lang<= v, v rang<= = 1 + 0 = 1
Então:

Passo 5

Agora que temos projv(u) = ( 01 ) v = 0 cdot v = 0 e , podemos aplicar a fórmula da projeção:

Resposta

A projeção ortogonal de projv(u)(t) = 0 sobre é a função nula, ou seja:

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