Calcule a projeção ortogonal do vetor
sobre o vetor
no produto interno indicado:
c)
dados por
, com produto interno em
dado por
c)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta é sobre projeção ortogonal de um vetor
sobre outro vetor
em um espaço de funções contínuas no intervalo
. A gente vai usar conceitos de produto interno e integração para chegar na resposta. Precisamos calcular o produto interno entre
e
, o produto interno de
consigo mesmo, e depois aplicar a fórmula da projeção.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a projeção ortogonal de
sobre
. A fórmula é:
Aqui,
representa o produto interno entre
e
, e
é o produto interno de
consigo mesmo.
Passo 3
Vamos calcular
. Pelo enunciado, temos:
Para resolver essa integral, vamos usar integração por partes, onde escolhemos
e
.
Calculando as derivadas e integrais necessárias:
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Calculando a segunda integral:
Então, a integral fica:
Agora, avaliando de
a
:
Calculando nos limites:
Para
:
Para
:
Subtraindo:
Passo 4
Agora, vamos calcular
:
Usamos a identidade trigonométrica:
Aplicando isso:
Calculando cada parte:
Então:
Passo 5
Agora que temos
e
, podemos aplicar a fórmula da projeção:
Resposta
A projeção ortogonal de
sobre
é a função nula, ou seja: