Seja undersetsimY sim Nn(mu, Sigma) onde o posto de Sigma é r(Sigma)=n. Prove que se Sigma é uma inversa generalizada de A, então undersetsimY^prime A undersetsimY undersetsimsim chip, lambda^2, onde lambda=12 musim^prime A undersetsim undersetsim e p=r(A).

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo e identificar os conceitos que vamos usar. A questão nos apresenta uma variável aleatória vetorial que segue uma distribuição normal multivariada com média e matriz de covariância , onde o posto de é . Precisamos provar que, se é uma inversa generalizada de uma matriz , então o produto quadrático segue uma distribuição qui-quadrado não central com graus de liberdade e parâmetro de não centralidade .
Para resolver isso, vamos precisar entender os seguintes conceitos:
  • Distribuição Normal Multivariada
  • Inversa Generalizada de uma Matriz
  • Distribuição Qui-Quadrado Não Central
  • Produto Quadrático de Variáveis Aleatórias

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Isso indica que é um vetor aleatório com distribuição normal multivariada de média e matriz de covariância . A matriz de covariância descreve como as variáveis dentro de estão relacionadas entre si.

Passo 3

A condição significa que a matriz tem posto completo, ou seja, ela é invertível. No entanto, a questão menciona que é uma inversa generalizada de . Uma inversa generalizada de uma matriz é uma matriz que satisfaz algumas propriedades semelhantes à inversa, mas não necessariamente todas se não for invertível.

Passo 4

Precisamos provar que segue uma distribuição qui-quadrado não central. Para isso, vamos lembrar que, em geral, para uma variável aleatória que segue uma distribuição normal multivariada, o produto quadrático pode seguir uma distribuição qui-quadrado não central sob certas condições.

Passo 5

Vamos considerar a propriedade de que se é uma inversa generalizada de , então . Isso é importante porque nos ajuda a relacionar as matrizes e , facilitando o cálculo do produto quadrático.

Passo 6

Agora, vamos calcular a esperança e a variância de E[tildeY' A tildeY] = Tr(ASigma) + mu' A mu . A esperança de um produto quadrático de uma variável normal multivariada é dada por:
E a variância pode ser calculada, mas como estamos buscando a distribuição, focaremos na estrutura do produto quadrático.

Passo 7

Sabemos que se segue uma distribuição normal multivariada, então segue uma distribuição qui-quadrado não central se for simétrica e semitransposta em relação à inversa de . Dado que é uma inversa generalizada de , essas condições são satisfeitas.

Passo 8

A distribuição qui-quadrado não central é caracterizada por dois parâmetros: os graus de liberdade e o parâmetro de não centralidade . No nosso caso, é igual ao posto de , ou seja, .

Passo 9

O parâmetro de não centralidade lambda = 12 mu' A mu é dado por:
Isso surge da média da distribuição normal multivariada, que desloca a distribuição qui-quadrado central para uma não central.

Passo 10

Com base nesses passos, concluímos que segue uma distribuição qui-quadrado não central com graus de liberdade e parâmetro de não centralidade .

Resposta

Portanto, segue uma distribuição qui-quadrado não central com graus de liberdade e , conforme solicitado.

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