Seja
onde o posto de
é
. Prove que se
é uma inversa generalizada de
, então
, onde
e
.
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo e identificar os conceitos que vamos usar. A questão nos apresenta uma variável aleatória vetorial
que segue uma distribuição normal multivariada com média
e matriz de covariância
, onde o posto de
é
. Precisamos provar que, se
é uma inversa generalizada de uma matriz
, então o produto quadrático
segue uma distribuição qui-quadrado não central com
graus de liberdade e parâmetro de não centralidade
.
Para resolver isso, vamos precisar entender os seguintes conceitos:
- Distribuição Normal Multivariada
- Inversa Generalizada de uma Matriz
- Distribuição Qui-Quadrado Não Central
- Produto Quadrático de Variáveis Aleatórias
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Isso indica que
é um vetor aleatório com distribuição normal multivariada de média
e matriz de covariância
. A matriz de covariância
descreve como as variáveis dentro de
estão relacionadas entre si.
Passo 3
A condição
significa que a matriz
tem posto completo, ou seja, ela é invertível. No entanto, a questão menciona que
é uma inversa generalizada de
. Uma inversa generalizada de uma matriz
é uma matriz que satisfaz algumas propriedades semelhantes à inversa, mas não necessariamente todas se
não for invertível.
Passo 4
Precisamos provar que
segue uma distribuição qui-quadrado não central. Para isso, vamos lembrar que, em geral, para uma variável aleatória
que segue uma distribuição normal multivariada, o produto quadrático
pode seguir uma distribuição qui-quadrado não central sob certas condições.
Passo 5
Vamos considerar a propriedade de que se
é uma inversa generalizada de
, então
. Isso é importante porque nos ajuda a relacionar as matrizes
e
, facilitando o cálculo do produto quadrático.
Passo 6
Agora, vamos calcular a esperança e a variância de
. A esperança de um produto quadrático de uma variável normal multivariada é dada por:
E a variância pode ser calculada, mas como estamos buscando a distribuição, focaremos na estrutura do produto quadrático.
Passo 7
Sabemos que se
segue uma distribuição normal multivariada, então
segue uma distribuição qui-quadrado não central se
for simétrica e semitransposta em relação à inversa de
. Dado que
é uma inversa generalizada de
, essas condições são satisfeitas.
Passo 8
A distribuição qui-quadrado não central
é caracterizada por dois parâmetros: os graus de liberdade
e o parâmetro de não centralidade
. No nosso caso,
é igual ao posto de
, ou seja,
.
Passo 9
O parâmetro de não centralidade
é dado por:
Isso surge da média da distribuição normal multivariada, que desloca a distribuição qui-quadrado central para uma não central.
Passo 10
Com base nesses passos, concluímos que
segue uma distribuição qui-quadrado não central com
graus de liberdade e parâmetro de não centralidade
.
Resposta
Portanto,
segue uma distribuição qui-quadrado não central
com
graus de liberdade e
, conforme solicitado.