Seja
uma matriz
simétrica, positiva definida e sua decomposição espectral
.
(a) Prove que
.
(b) Utilizando (a), mostre que
, onde
e
, com
© Mostre que
.
(d) Dada a matriz
Determine seus autovalores e autovetores. Determine sua decomposição espectral. Utilizando o item © determine a inversa de
. Utilizando o item (b), determine
tal que
.
(a) Prove que
(b) Utilizando (a), mostre que
(d) Dada a matriz
Passo 1
Então, a gente tem uma matriz quadrada
de ordem
que é simétrica e definida positiva. A decomposição espectral dessa matriz é dada por
, onde
é a matriz dos autovetores e
é a matriz diagonal dos autovalores. Vamos resolver as seguintes partes:
(a) Provar que
.
(b) Usar o resultado de (a) para mostrar que
, onde
e
é a matriz diagonal com as raízes quadradas dos autovalores.
© Mostrar que
.
(d) Dada a matriz específica
, determinar seus autovalores, autovetores, decomposição espectral, a inversa de
usando © e a matriz
usando (b).
Passo 2
Começando pelo item (a). Queremos provar que
.
Como
é simétrica e definida positiva, sabemos que seus autovetores são ortonormais. Isso significa que a matriz
formada por esses autovetores satisfaz a propriedade de que a transposta de
multiplicada por
resulta na matriz identidade. Matematicamente, isso é
. Além disso, por serem ortonormais, também temos
.
Passo 3
Agora, vamos para o item (b). Usando o resultado de (a), queremos mostrar que
, onde
e
é a matriz diagonal com as raízes quadradas dos autovalores de
.
Sabemos que
. Se definirmos
como a matriz diagonal com
nos elementos da diagonal, então:
Multiplicando
por ele mesmo:
Aqui usamos que
.
Passo 4
Passando para o item ©, queremos mostrar que
.
Sabemos que
. Para encontrar a inversa de
, usamos a propriedade de que a inversa de um produto de matrizes ortogonais vezes uma diagonal é dada por inverter cada componente:
Assim,
, onde
é a matriz diagonal com os inversos dos autovalores de
.
Passo 5
Finalmente, vamos para o item (d). Dada a matriz:
Primeiro, vamos encontrar os autovalores. Para isso, resolvemos o determinante
:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, os autovalores são
e
.
Agora, encontramos os autovetores. Para
:
Resolvendo, temos
. Então, um autovetor associado é
. Normalizando, fica
.
Para
:
Resolvendo, temos
. Então, um autovetor associado é
. Normalizando, fica
.
A decomposição espectral de
é então:
Agora, usando o item ©, a inversa de
é:
Finalmente, usando o item (b), a matriz
que satisfaz
é:
Resposta
Foi demonstrado cada item conforme solicitado, determinando os autovalores
,
, os autovetores correspondentes, a decomposição espectral de
, sua inversa
e a matriz
tal que
.