Calcule a projeção do vetor \underset{\sim}{u}=(1,2,3) sobre o vetor \underset{\sim}{v}=(2,0,-1).

Passo 1

O enunciado pede a projeção do vetor \vec{u}=(1,2,3) sobre o vetor \vec{v}=(2,0,-1). O conteúdo aqui é projeção de um vetor em outro, que usa produto escalar e norma ao quadrado para encontrar o escalar de projeção e, em seguida, multiplicar pelo vetor diretor.

Passo 2

A fórmula da projeção de \vec{u} sobre \vec{v} é
\mathrm{proj}_{\vec{v}}\vec{u} = \frac{\vec{u}\cdot \vec{v}}{\vec{v}\cdot \vec{v}}\,\vec{v}.

Passo 3

Calculamos primeiro os produtos escalares:
\vec{u}\cdot \vec{v} = 1\cdot 2 + 2\cdot 0 + 3\cdot(-1) = -1,
\vec{v}\cdot \vec{v} = 2^2 + 0^2 + (-1)^2 = 5.
Logo, o escalar de projeção é
\frac{\vec{u}\cdot \vec{v}}{\vec{v}\cdot \vec{v}} = -\tfrac{1}{5}.

Passo 4

Multiplicando esse escalar pelo vetor \vec{v}, obtemos
\mathrm{proj}_{\vec{v}}\vec{u} = -\tfrac{1}{5}\,(2,0,-1) = \Bigl(-\tfrac{2}{5},\,0,\,\tfrac{1}{5}\Bigr).

Resposta

\Bigl(-\tfrac{2}{5},\,0,\,\tfrac{1}{5}\Bigr)

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