Calcule a pseudoinversa de
A=\left(\begin{array}{lll} 5 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a pseudoinversa (Moore–Penrose) da matriz
A=\begin{pmatrix}5 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & 3 & 0\end{pmatrix}.
Informações relevantes dadas:
  • A é uma matriz de dimensão 2\times3.
  • Os elementos não nulos estão em A_{11}=5 e A_{22}=3.
    O objetivo final é encontrar \,A^{+}\, (a pseudoinversa de A), que deverá ter dimensão 3\times2.]

Passo 2

Decidir um método apropriado (sem resolver ainda): para matrizes retangulares existem várias maneiras de obter a pseudoinversa; uma fórmula simples e direta quando a matriz tem posto completo por linhas (isto é, posto \operatorname{rank}(A)=2, igual ao número de linhas) é
A^{+}=A^{T}\bigl(A A^{T}\bigr)^{-1}.
Antes de aplicar, vamos checar rapidamente o posto de A: as duas linhas (5,0,0) e (0,3,0) são linearmente independentes, logo \operatorname{rank}(A)=2. Como A tem posto igual ao número de linhas, a fórmula acima é válida e é a mais prática aqui.

Passo 3

Explicando a fórmula escolhida (mini-aula):
  • A tem dimensão m\times n com m=2 e n=3.
  • A^{T} é a transposta de A, dimensão n\times m.
  • A A^{T} é uma matriz quadrada m\times m. Se A tem posto m, então A A^{T} é invertível.
  • A pseudoinversa de Moore–Penrose, quando A tem posto completo por linhas, é dada por
A^{+}=A^{T}\bigl(A A^{T}\bigr)^{-1}.
Significado dos símbolos:
  • A^{+} é a pseudoinversa que generaliza a inversa para matrizes não quadradas.
  • A^{T} é a transposta (troca linhas por colunas).
  • (A A^{T})^{-1} é a inversa da matriz A A^{T}.

Passo 4

Calcular A A^{T}. Primeiro escrevemos A e A^{T}:
A=\begin{pmatrix}5 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & 3 & 0\end{pmatrix},\qquad A^{T}=\begin{pmatrix}5 & 0 \\[4pt] 0 & 3 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}.
Agora multiplicamos A A^{T} (produto 2\times3 por 3\times2 resulta em 2\times2):
A A^{T}= \begin{pmatrix}5 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & 3 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}5 & 0 \\[4pt] 0 & 3 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5\cdot5 + 0\cdot0 + 0\cdot0 & 5\cdot0 + 0\cdot3 + 0\cdot0 \\[6pt] 0\cdot5 + 3\cdot0 + 0\cdot0 & 0\cdot0 + 3\cdot3 + 0\cdot0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}25 & 0 \\[4pt] 0 & 9\end{pmatrix}.]

Passo 5

Calcular a inversa de A A^{T}. Como A A^{T} é diagonal,
A A^{T}=\begin{pmatrix}25 & 0 \\[4pt] 0 & 9\end{pmatrix},
a inversa é obtida invertendo os elementos da diagonal:
\bigl(A A^{T}\bigr)^{-1}=\begin{pmatrix}\tfrac{1}{25} & 0 \\[4pt] 0 & \tfrac{1}{9}\end{pmatrix}.
Aqui usei a propriedade de matrizes diagonais: a inversa de \operatorname{diag}(d_1,d_2) é \operatorname{diag}(1/d_1,1/d_2), desde que d_i\neq 0.]

Passo 6

Multiplicar A^{T} por (A A^{T})^{-1}:
A^{T}=\begin{pmatrix}5 & 0 \\[4pt] 0 & 3 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix},\qquad \bigl(A A^{T}\bigr)^{-1}=\begin{pmatrix}\tfrac{1}{25} & 0 \\[4pt] 0 & \tfrac{1}{9}\end{pmatrix}.
Fazemos o produto 3\times2 por 2\times2 para obter A^{+} (dimensão 3\times2). Calculando linha a linha:
  • Primeira linha de A^{T} é (5,0). Multiplicando: \bigl(5,0\bigr)\begin{pmatrix}\tfrac{1}{25} & 0 \\[4pt] 0 & \tfrac{1}{9}\end{pmatrix} =\bigl(5\cdot\tfrac{1}{25} + 0\cdot 0,\; 5\cdot 0 + 0\cdot\tfrac{1}{9}\bigr) =\bigl(\tfrac{1}{5},\;0\bigr).
  • Segunda linha de A^{T} é (0,3). Multiplicando: \bigl(0,3\bigr)\begin{pmatrix}\tfrac{1}{25} & 0 \\[4pt] 0 & \tfrac{1}{9}\end{pmatrix} =\bigl(0\cdot\tfrac{1}{25} + 3\cdot 0,\; 0\cdot 0 + 3\cdot\tfrac{1}{9}\bigr) =\bigl(0,\;\tfrac{1}{3}\bigr).
  • Terceira linha de A^{T} é (0,0). Multiplicando dá linha nula: \bigl(0,0\bigr)\begin{pmatrix}\tfrac{1}{25} & 0 \\[4pt] 0 & \tfrac{1}{9}\end{pmatrix} =\bigl(0,0\bigr).
Portanto
A^{+}=\begin{pmatrix}\tfrac{1}{5} & 0 \\[4pt] 0 & \tfrac{1}{3} \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}.]

Passo 7

Verificação rápida (para ganhar confiança):
  • Calcular A A^{+}: A A^{+}= \begin{pmatrix}5 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & 3 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\tfrac{1}{5} & 0 \\[4pt] 0 & \tfrac{1}{3} \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}=I_{2},como esperado para matriz de posto completo por linhas.
  • Calcular A^{+}A: A^{+}A= \begin{pmatrix}\tfrac{1}{5} & 0 \\[4pt] 0 & \tfrac{1}{3} \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}5 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & 3 & 0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & 1 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 0\end{pmatrix},que é uma projeção ortogonal na subespaço gerado pelas duas primeiras colunas de A. Essas propriedades confirmam que A^{+} está correto.]

Resposta

A^{+}=\begin{pmatrix}\tfrac{1}{5} & 0 \\[4pt] 0 & \tfrac{1}{3} \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}]

Exercícios relacionados