Os elementos não nulos estão em A_{11}=5 e A_{22}=3.
O objetivo final é encontrar \,A^{+}\, (a pseudoinversa de A), que deverá ter dimensão 3\times2.]
Passo 2
Decidir um método apropriado (sem resolver ainda): para matrizes retangulares existem várias maneiras de obter a pseudoinversa; uma fórmula simples e direta quando a matriz tem posto completo por linhas (isto é, posto \operatorname{rank}(A)=2, igual ao número de linhas) é
A^{+}=A^{T}\bigl(A A^{T}\bigr)^{-1}.
Antes de aplicar, vamos checar rapidamente o posto de A: as duas linhas (5,0,0) e (0,3,0) são linearmente independentes, logo \operatorname{rank}(A)=2. Como A tem posto igual ao número de linhas, a fórmula acima é válida e é a mais prática aqui.
Passo 3
Explicando a fórmula escolhida (mini-aula):
A tem dimensão m\times n com m=2 e n=3.
A^{T} é a transposta de A, dimensão n\times m.
A A^{T} é uma matriz quadrada m\times m. Se A tem posto m, então A A^{T} é invertível.
A pseudoinversa de Moore–Penrose, quando A tem posto completo por linhas, é dada por
A^{+}=A^{T}\bigl(A A^{T}\bigr)^{-1}.
Significado dos símbolos:
A^{+} é a pseudoinversa que generaliza a inversa para matrizes não quadradas.
Fazemos o produto 3\times2 por 2\times2 para obter A^{+} (dimensão 3\times2). Calculando linha a linha:
Primeira linha de A^{T} é (5,0). Multiplicando:\bigl(5,0\bigr)\begin{pmatrix}\tfrac{1}{25} & 0 \\[4pt] 0 & \tfrac{1}{9}\end{pmatrix} =\bigl(5\cdot\tfrac{1}{25} + 0\cdot 0,\; 5\cdot 0 + 0\cdot\tfrac{1}{9}\bigr) =\bigl(\tfrac{1}{5},\;0\bigr).
Segunda linha de A^{T} é (0,3). Multiplicando:\bigl(0,3\bigr)\begin{pmatrix}\tfrac{1}{25} & 0 \\[4pt] 0 & \tfrac{1}{9}\end{pmatrix} =\bigl(0\cdot\tfrac{1}{25} + 3\cdot 0,\; 0\cdot 0 + 3\cdot\tfrac{1}{9}\bigr) =\bigl(0,\;\tfrac{1}{3}\bigr).
Terceira linha de A^{T} é (0,0). Multiplicando dá linha nula:\bigl(0,0\bigr)\begin{pmatrix}\tfrac{1}{25} & 0 \\[4pt] 0 & \tfrac{1}{9}\end{pmatrix} =\bigl(0,0\bigr).