Agora calcule N^3. Como N^2 tem apenas um possível não zero na posição (1,3), ao multiplicar por N obtemos zeros em todas as posições:
N^3 = N^2\cdot N = 0 \quad(\text{matriz nula }3\times3).
Portanto N é nilpotente de índice 3: N^3=0.]
Passo 3
Fórmula que vamos usar (explicada didaticamente): quando duas matrizes comutam, pode-se aplicar a expansão binomial. Aqui I comuta com qualquer matriz, em particular com N. Para inteiro não negativo m,
(I+N)^m = \sum_{k=0}^{m} \binom{m}{k} N^{k}.
Como N^3=0, todos os termos com k\ge 3 são nulos, então a soma efetiva termina em k=2:
A^{m}=(I+N)^m = I + mN + \binom{m}{2}N^{2}.
(Isto é uma versão finita e exata do teorema binomial para matrizes no caso nilpotente.)
entrada (1,3): 0 + m + \binom{m}{2} = m + \binom{m}{2}.
entrada (2,2): 1+0+0=1.
entrada (2,3): 0 + m + 0 = m.
entrada (3,3): 1.
As demais entradas são 0. Podemos simplificar a entrada (1,3):
m + \binom{m}{2} = m + \frac{m(m-1)}{2} = \frac{2m + m(m-1)}{2} = \frac{m(m+1)}{2}.
Portanto a forma mais compacta é:
A^{m}=\begin{pmatrix} 1 & m & \dfrac{m(m+1)}{2} \\[8pt] 0 & 1 & m \\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},
válida para todo inteiro m\ge 0. (Para m=0 dá a identidade; para m=1 recupera A; para m=2 dá checagem rápida: A^2=\begin{pmatrix}1&2&3\\\ 0&1&2\\\ 0&0&1\end{pmatrix}, que confere.)]
Passo 5
Resumo intuitivo rápido: como A é um bloco de Jordan (uma matriz unipotente), sua potência se obtém pela expansão binomial (I+N)^m e só aparecem termos até N^2 porque N^3=0. Por isso as entradas crescem polinomialmente em m (linha superior com m e m(m+1)/2; supra-diagonal com m) — nada explosivo, só combinatória.
Resposta
A^{m}=\begin{pmatrix} 1 & m & \dfrac{m(m+1)}{2} \\[8pt] 0 & 1 & m \\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}]