Sega A=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\\\ 0 & 1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 1\end{array}\right), calcule A^{m}

Passo 1

O enunciado pede: calcular A^{m} para a matriz
A=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\[4pt] 0 & 1 & 1 \\[4pt] 0 & 0 & 1\end{pmatrix}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A é uma matriz 3\times3.
  • Os elementos acima da diagonal são não nulos e a diagonal principal é toda composta por 1.
  • A incógnita é o expoente m (assume-se m inteiro não negativo; também podemos incluir m=0 como caso A^0=I).]

Passo 2

Observação útil (sem resolver ainda): é conveniente escrever A como soma da identidade e de uma matriz estritamente triangular. Defino
N = A - I = \begin{pmatrix}0 & 1 & 1 \\[4pt] 0 & 0 & 1 \\[4pt] 0 & 0 & 0\end{pmatrix},
onde I é a matriz identidade 3\times3. Então
A = I + N.
Agora vou calcular potências de N, porque elas vão aparecer ao elevar A=(I+N) a potências.
Calcule N^2 explicitamente (fazendo a multiplicação elemento a elemento):
N=\begin{pmatrix}0 & 1 & 1 \\[4pt] 0 & 0 & 1 \\[4pt] 0 & 0 & 0\end{pmatrix}.
Produto N^2=N\cdot N. Entradas:
  • (N^2)_{11}=0 (todas as multiplicações relevantes são zero).
  • (N^2)_{12}=0 porque primeiro linha de N pela segunda coluna de N 0\cdot1 + 1\cdot0 + 1\cdot0 = 0.
  • (N^2)_{13}=0\cdot1 + 1\cdot1 + 1\cdot0 = 1.
  • (N^2)_{23}=0\cdot1 + 0\cdot1 + 1\cdot0 = 0.
    Todas as outras entradas são zero por estrutura triangular. Logo
N^2 = \begin{pmatrix}0 & 0 & 1 \\[4pt] 0 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 0\end{pmatrix}.
Agora calcule N^3. Como N^2 tem apenas um possível não zero na posição (1,3), ao multiplicar por N obtemos zeros em todas as posições:
N^3 = N^2\cdot N = 0 \quad(\text{matriz nula }3\times3).
Portanto N é nilpotente de índice 3: N^3=0.]

Passo 3

Fórmula que vamos usar (explicada didaticamente): quando duas matrizes comutam, pode-se aplicar a expansão binomial. Aqui I comuta com qualquer matriz, em particular com N. Para inteiro não negativo m,
(I+N)^m = \sum_{k=0}^{m} \binom{m}{k} N^{k}.
Como N^3=0, todos os termos com k\ge 3 são nulos, então a soma efetiva termina em k=2:
A^{m}=(I+N)^m = I + mN + \binom{m}{2}N^{2}.
(Isto é uma versão finita e exata do teorema binomial para matrizes no caso nilpotente.)

Passo 4

Agora substituo N e N^2 já calculados:
I = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & 1 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 1\end{pmatrix},\qquad mN = \begin{pmatrix}0 & m & m \\[4pt] 0 & 0 & m \\[4pt] 0 & 0 & 0\end{pmatrix},\qquad \binom{m}{2}N^{2} = \begin{pmatrix}0 & 0 & \binom{m}{2} \\[4pt] 0 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 0\end{pmatrix}.
Somando termo a termo:
  • entrada (1,1): 1+0+0=1.
  • entrada (1,2): 0 + m + 0 = m.
  • entrada (1,3): 0 + m + \binom{m}{2} = m + \binom{m}{2}.
  • entrada (2,2): 1+0+0=1.
  • entrada (2,3): 0 + m + 0 = m.
  • entrada (3,3): 1.
    As demais entradas são 0. Podemos simplificar a entrada (1,3):
m + \binom{m}{2} = m + \frac{m(m-1)}{2} = \frac{2m + m(m-1)}{2} = \frac{m(m+1)}{2}.
Portanto a forma mais compacta é:
A^{m}=\begin{pmatrix} 1 & m & \dfrac{m(m+1)}{2} \\[8pt] 0 & 1 & m \\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},
válida para todo inteiro m\ge 0. (Para m=0 dá a identidade; para m=1 recupera A; para m=2 dá checagem rápida: A^2=\begin{pmatrix}1&2&3\\\ 0&1&2\\\ 0&0&1\end{pmatrix}, que confere.)]

Passo 5

Resumo intuitivo rápido: como A é um bloco de Jordan (uma matriz unipotente), sua potência se obtém pela expansão binomial (I+N)^m e só aparecem termos até N^2 porque N^3=0. Por isso as entradas crescem polinomialmente em m (linha superior com m e m(m+1)/2; supra-diagonal com m) — nada explosivo, só combinatória.

Resposta

A^{m}=\begin{pmatrix} 1 & m & \dfrac{m(m+1)}{2} \\[8pt] 0 & 1 & m \\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}]

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