Calcule X se A X=X-B sendo
A=\left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \end{array}\right) \quad \wedge \quad B=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \end{array}\right)

Passo 1

O problema pede para encontrar a matriz X que satisfaz a equação matricial
A X = X - B,
onde foram dadas as matrizes
A=\begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 \\\\ 0 & 0 & 0 \\\\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}, \qquad B=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 1 & 1 \\\\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A equação envolve a matriz desconhecida X de mesma dimensão (3×3).
  • As matrizes A e B são 3×3 e foram fornecidas explicitamente.
  • O objetivo é determinar X tal que a igualdade matricial acima seja verdadeira.

Passo 2

Reescrevendo a equação para isolar os termos com X: subtraindo X de ambos os lados,
A X - X = -B.
Fatorando X à direita (porque a multiplicação é à esquerda por A e à direita por I),
(A - I)X = -B,
onde I é a matriz identidade 3\times3. Esta é uma equação linear em X. A ideia é resolver para X podendo, se A-I for invertível, escrever
X = (A - I)^{-1}(-B) = -(A - I)^{-1}B.
Vou resolver coluna a coluna, que é uma forma prática e elementar: se X=[x_1\;x_2\;x_3] e B=[b_1\;b_2\;b_3] (colunas), então
(A-I)x_j = -b_j,\qquad j=1,2,3.

Passo 3

Calcular A-I. A matriz identidade I tem 1s na diagonal, então
A-I=\begin{pmatrix} 0-1 & 0 & -1 \\\\ 0 & 0-1 & 0 \\\\ 1 & 0 & -1-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & -1 \\\\ 0 & -1 & 0 \\\\ 1 & 0 & -2 \end{pmatrix}.
Denotemos
M := A - I = \begin{pmatrix} -1 & 0 & -1 \\\\ 0 & -1 & 0 \\\\ 1 & 0 & -2 \end{pmatrix}.

Passo 4

Antes de inverter M, verifico que M é invertível calculando \det(M). Usando expansão pela primeira linha:
\det(M)=(-1)\det\begin{pmatrix}-1 & 0 \\[4pt] 0 & -2\end{pmatrix} -0\cdot\det(\cdots) +(-1)\det\begin{pmatrix}0 & -1 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}.
Calcule cada determinante 2×2:
\det\begin{pmatrix}-1 & 0 \\[4pt] 0 & -2\end{pmatrix}=(-1)(-2)-0\cdot0=2,
\det\begin{pmatrix}0 & -1 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}=0\cdot0-(-1)\cdot1=1.
Logo
\det(M)=(-1)\cdot 2 + (-1)\cdot 1 = -2 -1 = -3.
Como \det(M)=-3\neq 0, a matriz M é invertível e a solução X é única. Continuo resolvendo coluna a coluna, que é mais direto na prática.]

Passo 5

Identificar as colunas de B. Das entradas de B,
b_1=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix},\quad b_2=\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]-1\end{pmatrix},\quad b_3=\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Então os vetores do lado direito são -b_1,-b_2,-b_3:
-r_1:=-b_1=\begin{pmatrix}-1\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix},\quad -r_2:=-b_2=\begin{pmatrix}0\\[4pt]-1\\[4pt]1\end{pmatrix},\quad -r_3:=-b_3=\begin{pmatrix}-1\\[4pt]-1\\[4pt]-1\end{pmatrix}.
Agora resolvo M x_j = -b_j para cada coluna x_j.]

Passo 6

Resolver para a primeira coluna x_1\). Seja \(x_1=(x,y,z)^\top\). O sistema \(M x_1 = -b_1\) dá, linha a linha: \[\begin{cases} - x - z = -1,\\[4pt] - y = 0,\\[4pt] x - 2z = 0. \end{cases}
Da segunda equação obtemos y=0\]. Da terceira \(x=2z. Substituindo na primeira,
2z + z = 1 \quad\Rightarrow\quad 3z=1 \quad\Rightarrow\quad z=\tfrac{1}{3}.
Então x=2z=\tfrac{2}{3} e y=0. Logo
x_1=\begin{pmatrix}\tfrac{2}{3}\\[4pt]0\\[4pt]\tfrac{1}{3}\end{pmatrix}.]

Passo 7

Resolver para a segunda coluna x_2=(x,y,z)^\top\) com \(M x_2 = -b_2\): \[\begin{cases} - x - z = 0,\\[4pt] - y = -1,\\[4pt] x - 2z = 1. \end{cases}
Da segunda equação y=1\]. Da primeira \(x=-z. Substituindo na terceira,
- z - 2z = 1 \quad\Rightarrow\quad -3z=1 \quad\Rightarrow\quad z=-\tfrac{1}{3}.
Então x=-z=\tfrac{1}{3}. Logo
x_2=\begin{pmatrix}\tfrac{1}{3}\\[4pt]1\\[4pt]-\tfrac{1}{3}\end{pmatrix}.]

Passo 8

Resolver para a terceira coluna x_3=(x,y,z)^\top\) com \(M x_3 = -b_3\): \[\begin{cases} - x - z = -1,\\[4pt] - y = -1,\\[4pt] x - 2z = -1. \end{cases}
Da segunda equação y=1\]. Da primeira \(x=1-z. Substituindo na terceira,
1 - z - 2z = -1 \quad\Rightarrow\quad 1 -3z = -1 \quad\Rightarrow\quad -3z=-2 \quad\Rightarrow\quad z=\tfrac{2}{3}.
Então x=1-z=1-\tfrac{2}{3}=\tfrac{1}{3}. Assim
x_3=\begin{pmatrix}\tfrac{1}{3}\\[4pt]1\\[4pt]\tfrac{2}{3}\end{pmatrix}.]

Passo 9

Reunindo as colunas x_1,x_2,x_3, a solução é a matriz X com colunas obtidas:
X=\begin{pmatrix} \tfrac{2}{3} & \tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{3} \\[6pt] 0 & 1 & 1 \\[6pt] \tfrac{1}{3} & -\tfrac{1}{3} & \tfrac{2}{3} \end{pmatrix}.
(Segurança rápida: pode verificar multiplicando A X e conferindo que dá X-B; os cálculos fazem-se coluna a coluna como mostrado.)]

Resposta

X=\begin{pmatrix} \tfrac{2}{3} & \tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{3} \\[6pt] 0 & 1 & 1 \\[6pt] \tfrac{1}{3} & -\tfrac{1}{3} & \tfrac{2}{3} \end{pmatrix}]

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