Calcule:
(6,0 ptos) I=\iint_{R}\left(3 x+4 y^{2}\right) d A, sendo R a região limitada pelos círculos x^{2}+y^{2}=1 e x^{2}+y^{2}=4.

Passo 1

O enunciado pede o valor da integral dupla
I=\iint_{R}\left(3x+4y^{2}\right)\,dA,
onde R é a região limitada pelos círculos \,x^{2}+y^{2}=1 e \,x^{2}+y^{2}=4.
Informações importantes extraídas do enunciado:
  • A região R é um anel (região entre dois círculos concêntricos) centrado na origem, com raio interior \,1 e raio exterior \,2.
  • O integrando é 3x+4y^{2}.
  • É pedido calcular a integral dupla sobre toda a região R.

Passo 2

Escolha do método: vamos usar coordenadas polares porque a região R é circular (annulus) e fica muito mais simples em polares. Vou explicar o básico de coordenadas polares e por que isso ajuda.
Em coordenadas polares, cada ponto é dado por (r,\theta) com as relações
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
onde r\ge0 é a distância ao origem e \theta é o ângulo. A área elementar \,dA em coordenadas polares vale
dA = r\,dr\,d\theta.
Breve justificativa do fator r: a transformação (r,\theta)\mapsto(x,y) tem jacobiano cuja matriz é
\begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial\theta} \\\ \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial\theta} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta \\\ \sin\theta & r\cos\theta \end{pmatrix},
cujo determinante é
\det = r(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta)=r.
Por isso dA=\lvert\det\rvert\,dr\,d\theta=r\,dr\,d\theta.

Passo 3

Determinar os limites em polares para a região R. Como R é o anel entre os círculos de raios 1 e 2, os limites são
1\le r\le 2,\qquad 0\le \theta\le 2\pi.
Agora converter o integrando: substituir x=r\cos\theta e y=r\sin\theta. Assim
3x+4y^{2}=3r\cos\theta + 4r^{2}\sin^{2}\theta.
Multiplicando pelo fator dA=r\,dr\,d\theta obtemos o integrando em polares:
\left(3r\cos\theta + 4r^{2}\sin^{2}\theta\right) \cdot r = 3r^{2}\cos\theta + 4r^{3}\sin^{2}\theta.
Portanto a integral vira
I=\int_{0}^{2\pi}\int_{1}^{2}\left(3r^{2}\cos\theta + 4r^{3}\sin^{2}\theta\right)\,dr\,d\theta.

Passo 4

Separar a integral em duas parcelas (linearidade da integral):
I = \int_{0}^{2\pi}\int_{1}^{2}3r^{2}\cos\theta\,dr\,d\theta \;+\; \int_{0}^{2\pi}\int_{1}^{2}4r^{3}\sin^{2}\theta\,dr\,d\theta.
Vou tratar cada parcela separadamente e explicar por que a primeira parcela é zero.

Passo 5

Primeira parcela: \displaystyle \int_{0}^{2\pi}\int_{1}^{2}3r^{2}\cos\theta\,dr\,d\theta.
Podemos separar o produto porque 3r^{2} depende só de r e \cos\theta só de \theta:
\int_{0}^{2\pi}\int_{1}^{2}3r^{2}\cos\theta\,dr\,d\theta = \left(\int_{1}^{2}3r^{2}\,dr\right)\left(\int_{0}^{2\pi}\cos\theta\,d\theta\right).
Calcule a integral angular:
\int_{0}^{2\pi}\cos\theta\,d\theta = \sin\theta\Big|_{0}^{2\pi} = \sin(2\pi)-\sin(0)=0.
Portanto a primeira parcela é zero. Intuição: o termo 3x é ímpar em x e a região é simétrica em torno do eixo y, então as contribuições positivas e negativas se cancelam.

Passo 6

Segunda parcela: \displaystyle \int_{0}^{2\pi}\int_{1}^{2}4r^{3}\sin^{2}\theta\,dr\,d\theta.
Novamente, separamos as integrais:
\int_{0}^{2\pi}\int_{1}^{2}4r^{3}\sin^{2}\theta\,dr\,d\theta = 4\left(\int_{1}^{2}r^{3}\,dr\right)\left(\int_{0}^{2\pi}\sin^{2}\theta\,d\theta\right).

Passo 7

Calcular a integral radial:
\int_{1}^{2}r^{3}\,dr = \frac{r^{4}}{4}\Big|_{1}^{2} = \frac{2^{4}-1^{4}}{4} = \frac{16-1}{4} = \frac{15}{4}.

Passo 8

Calcular a integral angular de \sin^{2}\theta. Usando a identidade \sin^{2}\theta=\tfrac{1}{2}(1-\cos(2\theta)) ou sabendo que a média de \sin^{2} é 1/2,
\int_{0}^{2\pi}\sin^{2}\theta\,d\theta = \frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}1\,d\theta - \frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}\cos(2\theta)\,d\theta = \frac{1}{2}(2\pi) - 0 = \pi.

Passo 9

Juntar os resultados para a segunda parcela:
4\left(\int_{1}^{2}r^{3}\,dr\right)\left(\int_{0}^{2\pi}\sin^{2}\theta\,d\theta\right) = 4\cdot\frac{15}{4}\cdot \pi = 15\pi.
Somando com a primeira parcela (zero) chega-se ao valor total da integral:
I = 0 + 15\pi = 15\pi.

Resposta

I=15\pi

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