Calcule:
(6,0 ptos) I=\iint_{R}\left(3 x+4 y^{2}\right) d A, sendo R a região limitada pelos círculos x^{2}+y^{2}=1 e x^{2}+y^{2}=4.
Passo 1
O enunciado pede o valor da integral dupla
I=\iint_{R}\left(3x+4y^{2}\right)\,dA,
onde R é a região limitada pelos círculos \,x^{2}+y^{2}=1 e \,x^{2}+y^{2}=4.
Informações importantes extraídas do enunciado:
A região R é um anel (região entre dois círculos concêntricos) centrado na origem, com raio interior \,1 e raio exterior \,2.
O integrando é 3x+4y^{2}.
É pedido calcular a integral dupla sobre toda a região R.
Passo 2
Escolha do método: vamos usar coordenadas polares porque a região R é circular (annulus) e fica muito mais simples em polares. Vou explicar o básico de coordenadas polares e por que isso ajuda.
Em coordenadas polares, cada ponto é dado por (r,\theta) com as relações
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
onde r\ge0 é a distância ao origem e \theta é o ângulo. A área elementar \,dA em coordenadas polares vale
dA = r\,dr\,d\theta.
Breve justificativa do fator r: a transformação (r,\theta)\mapsto(x,y) tem jacobiano cuja matriz é
Portanto a primeira parcela é zero. Intuição: o termo 3x é ímpar em x e a região é simétrica em torno do eixo y, então as contribuições positivas e negativas se cancelam.
Passo 6
Segunda parcela: \displaystyle \int_{0}^{2\pi}\int_{1}^{2}4r^{3}\sin^{2}\theta\,dr\,d\theta.
Calcular a integral angular de \sin^{2}\theta. Usando a identidade \sin^{2}\theta=\tfrac{1}{2}(1-\cos(2\theta)) ou sabendo que a média de \sin^{2} é 1/2,