Determine a razão entre o volume de um cilindro equilátero circunscrito e o volume de um cilindro equilátero inscrito em uma esfera.
Passo 1
O que o problema pede: determinar a razão entre o volume do cilindro equilátero circunscrito a uma esfera e o volume do cilindro equilátero inscrito nessa mesma esfera.
Informações relevantes (assumidas do enunciado):
- A esfera tem raio
(usar como parâmetro). - “Cilindro equilátero” significa que a altura do cilindro é igual ao diâmetro da base; ou seja, para um cilindro com raio da base
e altura vale a relação
- Ambos os cilindros (o circunscrito e o inscrito) referem-se à mesma esfera de raio
. - A fórmula do volume de um cilindro de raio
e altura é
Passo 2
Cilindro equilátero circunscrito à esfera — identificar suas dimensões.
Raciocínio geométrico (explicando passo a passo):
- Para um cilindro circunscrito à esfera e tangente nela por todos os lados, o centro da esfera coincide com o centro do cilindro (eixo do cilindro).
- A superfície lateral do cilindro toca a esfera ao nível do “equador” da esfera; portanto o raio do cilindro
é igual ao raio da esfera:
- As bases do cilindro (topo e fundo) serão tangentes à esfera nos polos superior e inferior; a distância do centro às bases é
, então a altura do cilindro é o diâmetro da esfera:
- Verificação da condição “equilátero”: como
e , realmente , isto é, o cilindro circunscrito é equilateral conforme a definição.
Agora calcular o volume do cilindro circunscrito:
Passo 3
Cilindro equilátero inscrito na esfera — determinar
e
.
Raciocínio geométrico e uso da equação da esfera:
- Considere um cilindro inscrito na esfera, com centro coincidente com o da esfera. Seja
o raio da base do cilindro inscrito e a sua altura. Um ponto da circunferência da base (borda do topo do cilindro) está na superfície da esfera; as coordenadas desse ponto, em um sistema com origem no centro da esfera, são em termos de distâncias radiais e axiais. - A equação que relaciona essas coordenadas à esfera de raio
é (teorema de Pitágoras em 3D, distância ao centro):
- Como o cilindro é equilátero, vale
. Substituir na equação da esfera:
- Isso dá
- Então a altura é
Calcular o volume do cilindro inscrito:
Passo 4
Calcular a razão pedida: volume do cilindro circunscrito dividido pelo volume do cilindro inscrito.
Substituindo os volumes encontrados:
Comentário rápido: as potências de
e o fator
cancelam, por isso a razão é puramente numérica.
Passo 5
Resumo final e incentivo: chegamos a um resultado simples e bonito,
. É comum em provas que problemas geométricos assim reduzam muito depois de montar bem as equações. Você mandou bem buscando a solução — continue praticando esse tipo de montagem geométrica que fica cada vez mais natural.