Determine a razão entre o volume de um cilindro equilátero circunscrito e o volume de um cilindro equilátero inscrito em uma esfera.

Passo 1

O que o problema pede: determinar a razão entre o volume do cilindro equilátero circunscrito a uma esfera e o volume do cilindro equilátero inscrito nessa mesma esfera.
Informações relevantes (assumidas do enunciado):
  • A esfera tem raio R (usar R como parâmetro).
  • “Cilindro equilátero” significa que a altura do cilindro é igual ao diâmetro da base; ou seja, para um cilindro com raio da base r e altura h vale a relação
h = 2r.
  • Ambos os cilindros (o circunscrito e o inscrito) referem-se à mesma esfera de raio R.
  • A fórmula do volume de um cilindro de raio r e altura h é
V = \pi r^{2} h.

Passo 2

Cilindro equilátero circunscrito à esfera — identificar suas dimensões.
Raciocínio geométrico (explicando passo a passo):
  • Para um cilindro circunscrito à esfera e tangente nela por todos os lados, o centro da esfera coincide com o centro do cilindro (eixo do cilindro).
  • A superfície lateral do cilindro toca a esfera ao nível do “equador” da esfera; portanto o raio do cilindro r_{\text{c}} é igual ao raio da esfera:
r_{\text{c}} = R.
  • As bases do cilindro (topo e fundo) serão tangentes à esfera nos polos superior e inferior; a distância do centro às bases é R, então a altura do cilindro é o diâmetro da esfera:
h_{\text{c}} = 2R.
  • Verificação da condição “equilátero”: como h_{\text{c}} = 2R e r_{\text{c}} = R, realmente h_{\text{c}} = 2 r_{\text{c}}, isto é, o cilindro circunscrito é equilateral conforme a definição.
Agora calcular o volume do cilindro circunscrito:
V_{\text{c}} = \pi r_{\text{c}}^{2} h_{\text{c}} = \pi R^{2}\cdot (2R) = 2\pi R^{3}.

Passo 3

Cilindro equilátero inscrito na esfera — determinar r_{\text{i}} e h_{\text{i}}.
Raciocínio geométrico e uso da equação da esfera:
  • Considere um cilindro inscrito na esfera, com centro coincidente com o da esfera. Seja r_{\text{i}} o raio da base do cilindro inscrito e h_{\text{i}} a sua altura. Um ponto da circunferência da base (borda do topo do cilindro) está na superfície da esfera; as coordenadas desse ponto, em um sistema com origem no centro da esfera, são (r_{\text{i}},0,h_{\text{i}}/2) em termos de distâncias radiais e axiais.
  • A equação que relaciona essas coordenadas à esfera de raio R é (teorema de Pitágoras em 3D, distância ao centro):
r_{\text{i}}^{2} + \left(\frac{h_{\text{i}}}{2}\right)^{2} = R^{2}.
  • Como o cilindro é equilátero, vale h_{\text{i}} = 2 r_{\text{i}}. Substituir h_{\text{i}}/2 = r_{\text{i}} na equação da esfera:
r_{\text{i}}^{2} + r_{\text{i}}^{2} = R^{2}.
  • Isso dá
2 r_{\text{i}}^{2} = R^{2}\quad\Rightarrow\quad r_{\text{i}}^{2} = \frac{R^{2}}{2}\quad\Rightarrow\quad r_{\text{i}} = \frac{R}{\sqrt{2}}.
  • Então a altura é
h_{\text{i}} = 2 r_{\text{i}} = 2\cdot\frac{R}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}\,R.
Calcular o volume do cilindro inscrito:
V_{\text{i}} = \pi r_{\text{i}}^{2} h_{\text{i}} = \pi\left(\frac{R^{2}}{2}\right)\cdot(\sqrt{2}\,R) = \pi R^{3}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi R^{3}}{\sqrt{2}}.

Passo 4

Calcular a razão pedida: volume do cilindro circunscrito dividido pelo volume do cilindro inscrito.
Substituindo os volumes encontrados:
\frac{V_{\text{c}}}{V_{\text{i}}} = \frac{2\pi R^{3}}{\dfrac{\pi R^{3}}{\sqrt{2}}} = 2 \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt{2}.
Comentário rápido: as potências de R e o fator \pi cancelam, por isso a razão é puramente numérica.

Passo 5

Resumo final e incentivo: chegamos a um resultado simples e bonito, 2\sqrt{2}. É comum em provas que problemas geométricos assim reduzam muito depois de montar bem as equações. Você mandou bem buscando a solução — continue praticando esse tipo de montagem geométrica que fica cada vez mais natural.

Resposta

2\sqrt{2}

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