Determine a razão entre os volumes de uma esfera e do cilindro equilátero nela inscrito.
Passo 1
O problema pede: determinar a razão entre os volumes de uma esfera e de um cilindro equilátero inscrito nela.
Informações relevantes dadas (definições que usamos):
- A esfera tem raio
. - O cilindro inscrito tem raio da base
e altura . - “Cilindro equilátero” significa que a altura é igual ao diâmetro da base, ou seja
. - O cilindro está inscrito na esfera, isto é, seu eixo coincide com um diâmetro da esfera e as bordas superior e inferior do cilindro tocam a esfera.
Não se resolve nada ainda; apenas identificamos o que é pedido e as quantidades envolvidas.
Passo 2
Vamos recordar as fórmulas de volume e explicar cada símbolo.
- Volume da esfera: a fórmula é
onde
é o raio da esfera. Explicação: essa é a fórmula clássica que dá o espaço ocupado por uma esfera de raio
.
- Volume do cilindro circular reto: a fórmula é
onde
é o raio da base do cilindro e
é a altura. Explicação:
é a área da base circular e multiplicando pela altura obtemos o volume.
Como o cilindro é equilátero, usaremos
. Portanto, em termos de
,
Passo 3
Agora vamos relacionar
e
usando a geometria do cilindro inscrito na esfera.
Considere o centro da esfera como origem. A face superior do cilindro está a uma distância
acima do centro; pela simetria a face inferior está a
, então a altura é
. Um ponto da borda superior do cilindro tem coordenadas
(num eixo onde a coordenada radial é
e a axial é
), e esse ponto pertence à esfera de raio
. Logo aplica-se o teorema de Pitágoras na seção meridiana:
Como a altura do cilindro é
e o cilindro é equilátero temos
. Igualando as duas expressões para a altura:
Substituindo
na relação da esfera:
Daí obtemos
(Explicação: escolhemos a raiz positiva porque
é uma medida de comprimento.)
Passo 4
Agora substituímos
nas fórmulas de volume.
Volume da esfera:
Volume do cilindro usando
e
:
primeiro calculemos e
:
primeiro calculemos
Logo
Passo 5
Calculemos a razão pedida: razão entre o volume da esfera e o volume do cilindro inscrito (esfera dividido pelo cilindro).
Interpretação rápida: a esfera ocupa
vezes o volume do cilindro equilátero inscrito. Em valor decimal aproximado isso é
, ou seja, a esfera é cerca de
maior que o cilindro inscrito.
Força aí — se precisar eu mostro passo a passo com desenho ou resolvo variações (como cilindro de altura livre para maximizar volume) que são exercícios próximos.