Determine a razão entre os volumes de uma esfera e do cilindro equilátero nela inscrito.

Passo 1

O problema pede: determinar a razão entre os volumes de uma esfera e de um cilindro equilátero inscrito nela.
Informações relevantes dadas (definições que usamos):
  • A esfera tem raio \,R.
  • O cilindro inscrito tem raio da base \,r e altura \,h.
  • “Cilindro equilátero” significa que a altura é igual ao diâmetro da base, ou seja \,h=2r.
  • O cilindro está inscrito na esfera, isto é, seu eixo coincide com um diâmetro da esfera e as bordas superior e inferior do cilindro tocam a esfera.
Não se resolve nada ainda; apenas identificamos o que é pedido e as quantidades envolvidas.

Passo 2

Vamos recordar as fórmulas de volume e explicar cada símbolo.
  • Volume da esfera: a fórmula é
V_{\text{esfera}}=\frac{4}{3}\pi R^{3},
onde \,R é o raio da esfera. Explicação: essa é a fórmula clássica que dá o espaço ocupado por uma esfera de raio \,R.
  • Volume do cilindro circular reto: a fórmula é
V_{\text{cil}}=\pi r^{2}h,
onde \,r é o raio da base do cilindro e \,h é a altura. Explicação: \pi r^{2} é a área da base circular e multiplicando pela altura obtemos o volume.
Como o cilindro é equilátero, usaremos \,h=2r. Portanto, em termos de \,r,
V_{\text{cil}}=\pi r^{2}\cdot(2r)=2\pi r^{3}.

Passo 3

Agora vamos relacionar \,r e \,R usando a geometria do cilindro inscrito na esfera.
Considere o centro da esfera como origem. A face superior do cilindro está a uma distância \,z acima do centro; pela simetria a face inferior está a -z, então a altura é \,h=2z. Um ponto da borda superior do cilindro tem coordenadas (r,0,z) (num eixo onde a coordenada radial é \,r e a axial é \,z), e esse ponto pertence à esfera de raio \,R. Logo aplica-se o teorema de Pitágoras na seção meridiana:
r^{2}+z^{2}=R^{2}.
Como a altura do cilindro é \,h=2z e o cilindro é equilátero temos \,h=2r. Igualando as duas expressões para a altura:
2z=2r \quad\Rightarrow\quad z=r.
Substituindo \,z=r na relação da esfera:
r^{2}+r^{2}=R^{2}\quad\Rightarrow\quad 2r^{2}=R^{2}.
Daí obtemos
r^{2}=\frac{R^{2}}{2}\quad\Rightarrow\quad r=\frac{R}{\sqrt{2}}.
(Explicação: escolhemos a raiz positiva porque \,r é uma medida de comprimento.)

Passo 4

Agora substituímos \,r=\dfrac{R}{\sqrt{2}} nas fórmulas de volume.
Volume da esfera:
V_{\text{esfera}}=\frac{4}{3}\pi R^{3}.
Volume do cilindro usando \,V_{\text{cil}}=\pi r^{2}h e \,h=2r:
primeiro calculemos \,r^{2} e \,h:
r^{2}=\frac{R^{2}}{2}, \qquad h=2r=2\cdot\frac{R}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\,R.
Logo
V_{\text{cil}}=\pi\cdot\frac{R^{2}}{2}\cdot(\sqrt{2}\,R) =\pi R^{3}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} =\frac{\pi R^{3}}{\sqrt{2}}.

Passo 5

Calculemos a razão pedida: razão entre o volume da esfera e o volume do cilindro inscrito (esfera dividido pelo cilindro).
\frac{V_{\text{esfera}}}{V_{\text{cil}}} = \frac{\dfrac{4}{3}\pi R^{3}}{\dfrac{\pi R^{3}}{\sqrt{2}}} =\frac{4}{3}\cdot\sqrt{2} =\frac{4\sqrt{2}}{3}.
Interpretação rápida: a esfera ocupa \dfrac{4\sqrt{2}}{3} vezes o volume do cilindro equilátero inscrito. Em valor decimal aproximado isso é \approx 1{,}886, ou seja, a esfera é cerca de 89{,}4\% maior que o cilindro inscrito.
Força aí — se precisar eu mostro passo a passo com desenho ou resolvo variações (como cilindro de altura livre para maximizar volume) que são exercícios próximos.

Resposta

\dfrac{4\sqrt{2}}{3}

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