Calcule E(r(\varphi, \theta)) simplesmente substituindo x, y e z que aparecem na expressão de E por seus respectivos valores x(\varphi, \theta), y(\varphi, \theta) e z(\varphi, \theta) dados na parametrização da esfera.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos explícito:
  • Pedido: calcular E(r(\varphi,\theta)), isto é, a composição da função E com a parametrização da esfera r(\varphi,\theta), simplesmente substituindo x,y,z por x(\varphi,\theta),y(\varphi,\theta),z(\varphi,\theta).
  • Informação que vamos usar (parametrização padrão da esfera unitária):
    • x(\varphi,\theta)=\sin\varphi\cos\theta.
    • y(\varphi,\theta)=\sin\varphi\sin\theta.
    • z(\varphi,\theta)=\cos\varphi.
  • Domínio usual dessas variáveis:
    • \varphi\in[0,\pi] (colatitude).
    • \theta\in[0,2\pi) (longitude).
  • Observação importante (retirada do enunciado): a função E pode ser escalar E(x,y,z)\in\mathbb{R} ou vetorial E(x,y,z)\in\mathbb{R}^3. O procedimento de substituição é o mesmo: compor E com r.

Passo 2

Entendendo a operação de composição (a ideia por trás da substituição)
  • Se E é uma função de três variáveis, isto é, E:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R} (caso escalar) ou E:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 (caso vetorial), então E toma como entrada um triplo (x,y,z).
  • A parametrização r(\varphi,\theta) é uma função que dá esse triplo em função de \varphi e \theta: r(\varphi,\theta)=\bigl(x(\varphi,\theta),\,y(\varphi,\theta),\,z(\varphi,\theta)\bigr).
  • Composição significa “alimentar” E com as coordenadas fornecidas por r. Formalmente: E(r(\varphi,\theta)) = E\bigl(x(\varphi,\theta),\,y(\varphi,\theta),\,z(\varphi,\theta)\bigr).
  • Portanto, o cálculo pedido é a substituição direta de x,y,z pelas expressões em \varphi,\theta. Simples e direto — igual a trocar a variável x por uma expressão em t quando se compõe funções univariadas.

Passo 3

Fazendo a substituição genérica (caso escalar)
  • Supondo E escalar e escrita como E(x,y,z), ao substituir temos: E(r(\varphi,\theta)) = E\bigl(\sin\varphi\cos\theta,\\ \sin\varphi\sin\theta,\\ \cos\varphi\bigr).
  • Isso é a resposta formal e genérica: agora E é vista como função de \varphi e \theta por meio das componentes da parametrização.

Passo 4

Comentário sobre o caso vetorial (se E for campo vetorial)
  • Se E for vetorial, por exemplo E(x,y,z) = \bigl(E_1(x,y,z),\,E_2(x,y,z),\,E_3(x,y,z)\bigr), faz-se a mesma substituição componente a componente: E(r(\varphi,\theta)) = \bigl(E_1(\sin\varphi\cos\theta,\sin\varphi\sin\theta,\cos\varphi),\;E_2(\sin\varphi\cos\theta,\sin\varphi\sin\theta,\cos\varphi),\;E_3(\sin\varphi\cos\theta,\sin\varphi\sin\theta,\cos\varphi)\bigr).

Passo 5

Dois exemplos concretos para fixar (faça igual na prova)
  • Exemplo 1 (escalar): se E(x,y,z)=x^2+y^2+z^2, então na esfera unitária
    E(r(\varphi,\theta)) = (\sin\varphi\cos\theta)^2+(\sin\varphi\sin\theta)^2+(\cos\varphi)^2.
    Desenvolvendo e simplificando:
    E(r(\varphi,\theta)) = \sin^2\varphi(\cos^2\theta+\sin^2\theta)+\cos^2\varphi = \sin^2\varphi+\cos^2\varphi = 1.
    Resultado intuitivo: a função distância ao quadrado é 1 na esfera unitária.
  • Exemplo 2 (vetorial): se E(x,y,z)=(x,y,z) (campo posição), então
    E(r(\varphi,\theta)) = \bigl(\sin\varphi\cos\theta,\\ \sin\varphi\sin\theta,\\ \cos\varphi\bigr),
    que é exatamente r(\varphi,\theta) — faz sentido: o campo posição avaliado na parametrização retorna a própria parametrização.

Passo 6

Dicas práticas para a prova (passo a passo rápido)
  • Identifique se E é escalar ou vetorial.
  • Escreva explicitamente x(\varphi,\theta),y(\varphi,\theta),z(\varphi,\theta) antes de substituir (evita confusão).
  • Substitua em todas as ocorrências de x,y,z em E.
  • Se possível, simplifique (por exemplo usando \cos^2\theta+\sin^2\theta=1 ou identidades trigonométricas).
  • Verifique o domínio final em \varphi,\theta ( \varphi\in[0,\pi],\\ \theta\in[0,2\pi)).

Resposta

E(r(\varphi,\theta)) = E\bigl(\sin\varphi\cos\theta,\\ \sin\varphi\sin\theta,\\ \cos\varphi\bigr)

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