Calcule
simplesmente substituindo
e
que aparecem na expressão de
por seus respectivos valores
e
dados na parametrização da esfera.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos explícito:
- Pedido: calcular
, isto é, a composição da função com a parametrização da esfera , simplesmente substituindo por . - Informação que vamos usar (parametrização padrão da esfera unitária):
-
. -
. -
.
-
- Domínio usual dessas variáveis:
-
(colatitude). -
(longitude).
-
- Observação importante (retirada do enunciado): a função
pode ser escalar ou vetorial . O procedimento de substituição é o mesmo: compor com .
Passo 2
Entendendo a operação de composição (a ideia por trás da substituição)
- Se
é uma função de três variáveis, isto é, (caso escalar) ou (caso vetorial), então toma como entrada um triplo . - A parametrização
é uma função que dá esse triplo em função de e : - Composição significa “alimentar”
com as coordenadas fornecidas por . Formalmente: - Portanto, o cálculo pedido é a substituição direta de
pelas expressões em . Simples e direto — igual a trocar a variável por uma expressão em quando se compõe funções univariadas.
Passo 3
Fazendo a substituição genérica (caso escalar)
- Supondo
escalar e escrita como , ao substituir temos: - Isso é a resposta formal e genérica: agora
é vista como função de e por meio das componentes da parametrização.
Passo 4
Comentário sobre o caso vetorial (se
for campo vetorial)
- Se
for vetorial, por exemplo , faz-se a mesma substituição componente a componente:
Passo 5
Dois exemplos concretos para fixar (faça igual na prova)
-
Exemplo 1 (escalar): se
, então na esfera unitária Desenvolvendo e simplificando:Resultado intuitivo: a função distância ao quadrado éna esfera unitária. -
Exemplo 2 (vetorial): se
(campo posição), então que é exatamente— faz sentido: o campo posição avaliado na parametrização retorna a própria parametrização.
Passo 6
Dicas práticas para a prova (passo a passo rápido)
- Identifique se
é escalar ou vetorial. - Escreva explicitamente
antes de substituir (evita confusão). - Substitua em todas as ocorrências de
em . - Se possível, simplifique (por exemplo usando
ou identidades trigonométricas). - Verifique o domínio final em
( ).