Determine o conjunto solução das equações.
9^{2 x+1}=\frac{1}{9^{x}}

Passo 1

O enunciado fornece a equação
9^{2x+1}=\frac{1}{9^{x}}.
O que a questão pede: determinar o conjunto solução, ou seja, todos os valores de x que satisfazem a equação. Informações relevantes que temos do enunciado:
  • A base é 9, que é um número positivo e diferente de 1.
  • A expressão do lado direito pode ser escrita como uma potência negativa de 9: \dfrac{1}{9^{x}}=9^{-x}.

Passo 2

Relembrando propriedades de potências que vamos usar (com explicação didática):
  • Produto de potências de mesma base: \;a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}.; Ex.: 2^3\cdot2^4=2^{3+4}=2^7.
  • Potência de potência: \;(a^{m})^{n}=a^{mn}.; Ex.: (3^2)^4=3^{2\cdot4}=3^8.
  • Potência negativa: \;a^{-m}=\dfrac{1}{a^{m}}.; Ex.: 2^{-3}=\dfrac{1}{2^3}=\dfrac{1}{8}.
  • Importante: se a>0 e a\neq1, a função a^{y} é injetora, ou seja, se a^{u}=a^{v} então u=v. Isso permite igualar expoentes quando as bases iguais são positivas e diferentes de 1.

Passo 3

Aplicando a propriedade de potência negativa para reescrever o lado direito (pegando este dado do enunciado):
\frac{1}{9^{x}}=9^{-x}.
Assim a equação fica
9^{2x+1}=9^{-x}.

Passo 4

Como a base 9 é maior que zero e diferente de 1, podemos usar a propriedade de injetividade da exponencial e igualar os expoentes:
2x+1=-x.
Aqui explico: temos duas potências com a mesma base e iguais, então seus expoentes também têm que ser iguais.

Passo 5

Resolver agora a equação linear obtida:
2x+1=-x \quad\Longrightarrow\quad 2x + x = -1 \quad\Longrightarrow\quad 3x = -1.
Portanto
x=-\frac{1}{3}.

Passo 6

Verificação rápida (sempre boa prática): substituir x=-\tfrac{1}{3} na equação original.
Calcule o lado esquerdo:
9^{2x+1}=9^{2\left(-\tfrac{1}{3}\right)+1}=9^{-\tfrac{2}{3}+1}=9^{\tfrac{1}{3}}.
Calcule o lado direito:
\frac{1}{9^{x}}=9^{-x}=9^{-(-\tfrac{1}{3})}=9^{\tfrac{1}{3}}.
Os dois lados coincidem, então x=-\tfrac{1}{3} é de fato solução.

Resposta

\displaystyle \left\{-\tfrac{1}{3}\right\}

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