Determine o conjunto solução das equações.
Passo 1
O enunciado fornece a equação
O que a questão pede: determinar o conjunto solução, ou seja, todos os valores de
que satisfazem a equação. Informações relevantes que temos do enunciado:
- A base é
, que é um número positivo e diferente de . - A expressão do lado direito pode ser escrita como uma potência negativa de
: .
Passo 2
Relembrando propriedades de potências que vamos usar (com explicação didática):
- Produto de potências de mesma base:
.; Ex.: . - Potência de potência:
.; Ex.: . - Potência negativa:
.; Ex.: . - Importante: se
e , a função é injetora, ou seja, se então . Isso permite igualar expoentes quando as bases iguais são positivas e diferentes de .
Passo 3
Aplicando a propriedade de potência negativa para reescrever o lado direito (pegando este dado do enunciado):
Assim a equação fica
Passo 4
Como a base
é maior que zero e diferente de
, podemos usar a propriedade de injetividade da exponencial e igualar os expoentes:
Aqui explico: temos duas potências com a mesma base e iguais, então seus expoentes também têm que ser iguais.
Passo 5
Resolver agora a equação linear obtida:
Portanto
Passo 6
Verificação rápida (sempre boa prática): substituir
na equação original.
Calcule o lado esquerdo:
Calcule o lado esquerdo:
Calcule o lado direito:
Os dois lados coincidem, então
é de fato solução.