Determine o conjunto solução das equações.
8^{2 x+1}=\sqrt[3]{4^{x-1}}

Passo 1

O enunciado fornece a equação
8^{2x+1}=\sqrt[3]{4^{x-1}}.
A tarefa é determinar o(s) valor(es) de x que satisfazem essa igualdade. Informação direta do enunciado:
  • A base 8 aparece elevada a (2x+1).
  • No lado direito aparece uma raiz cúbica de 4^{x-1}, ou seja \sqrt[3]{4^{x-1}}.

Passo 2

Vamos usar propriedades básicas de potências para simplificar as bases em potências da mesma base (isso facilita muito). Regras que vamos usar (explicadas de forma simples):
  • Se a>0 e b,c são números, então (a^b)^c=a^{bc}. Isso significa que podemos multiplicar expoentes quando empilhamos potências.
  • A raiz enésima pode ser escrita como potência fracionária: \sqrt[n]{A}=A^{1/n}.
  • Se duas potências têm a mesma base positiva (diferente de 1), então as potências são iguais exatamente quando os expoentes são iguais.
Observação prática: tanto 8 quanto 4 são potências de 2:
8=2^3,\qquad 4=2^2.

Passo 3

Reescrevendo cada lado com base 2.
Lado esquerdo:
8^{2x+1}=(2^3)^{2x+1}=2^{3(2x+1)}=2^{6x+3}.
Lado direito: primeiro trocar a raiz por expoente 1/3, depois usar 4=2^2.
\sqrt[3]{4^{x-1}}=(4^{x-1})^{1/3}=4^{\frac{x-1}{3}}=(2^2)^{\frac{x-1}{3}}=2^{2\cdot\frac{x-1}{3}}=2^{\frac{2x-2}{3}}.
Agora a equação fica
2^{6x+3}=2^{\frac{2x-2}{3}}.

Passo 4

Como as duas potências têm a mesma base 2 (base positiva diferente de 1), igualamos os expoentes:
6x+3=\frac{2x-2}{3}.
Aqui usamos a propriedade: se a^{u}=a^{v} e a>0,a\neq1, então u=v.

Passo 5

Resolver a equação linear obtida. Primeiro elimino o denominador multiplicando ambos os lados por 3:
3(6x+3)=2x-2.
Calculo o produto:
18x+9=2x-2.
Isolo x: subtraio 2x dos dois lados e também subtraio 9:
18x-2x = -2-9,
16x = -11.
Divido por 16:
x = -\dfrac{11}{16}.

Passo 6

Verificação rápida para garantir que não houve erro algébrico (substituir de volta nos expoentes e checar igualdade dos dois lados em forma de potência de 2).
Calcular o expoente do lado esquerdo com x=-\dfrac{11}{16}:
6x+3 = 6\left(-\dfrac{11}{16}\right)+3 = -\dfrac{66}{16}+3 = -\dfrac{33}{8}+3 = -\dfrac{33-24}{8} = -\dfrac{9}{8}.
Calcular o expoente do lado direito:
\frac{2x-2}{3} = \frac{2\left(-\dfrac{11}{16}\right)-2}{3} = \frac{-\dfrac{22}{16}-2}{3} = \frac{-\dfrac{11}{8}-\dfrac{16}{8}}{3} = \frac{-\dfrac{27}{8}}{3} = -\dfrac{27}{24} = -\dfrac{9}{8}.
Como ambos os expoentes são iguais ( -\dfrac{9}{8}), os dois lados coincidem e a solução é válida.

Resposta

x=-\dfrac{11}{16}

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