Determine o conjunto solução das equações.
Passo 1
O enunciado fornece a equação
A tarefa é determinar o(s) valor(es) de
que satisfazem essa igualdade. Informação direta do enunciado:
- A base
aparece elevada a . - No lado direito aparece uma raiz cúbica de
, ou seja .
Passo 2
Vamos usar propriedades básicas de potências para simplificar as bases em potências da mesma base (isso facilita muito). Regras que vamos usar (explicadas de forma simples):
- Se
e são números, então . Isso significa que podemos multiplicar expoentes quando empilhamos potências. - A raiz enésima pode ser escrita como potência fracionária:
. - Se duas potências têm a mesma base positiva (diferente de
), então as potências são iguais exatamente quando os expoentes são iguais.
Observação prática: tanto
quanto
são potências de
:
Passo 3
Reescrevendo cada lado com base
.
Lado esquerdo:
Lado direito: primeiro trocar a raiz por expoente
, depois usar
.
Agora a equação fica
Passo 4
Como as duas potências têm a mesma base
(base positiva diferente de
), igualamos os expoentes:
Aqui usamos a propriedade: se
e
, então
.
Passo 5
Resolver a equação linear obtida. Primeiro elimino o denominador multiplicando ambos os lados por
:
Calculo o produto:
Isolo
: subtraio
dos dois lados e também subtraio
:
Divido por
:
Passo 6
Verificação rápida para garantir que não houve erro algébrico (substituir de volta nos expoentes e checar igualdade dos dois lados em forma de potência de
).
Calcular o expoente do lado esquerdo com
:
Calcular o expoente do lado direito:
Como ambos os expoentes são iguais (
), os dois lados coincidem e a solução é válida.