Calcule o raio de convergência das séries de potências
sumn=1^infty x^n2^n e sumn=1^infty x^2 n2^n.

Passo 1

Vamos encontrar o raio de convergência de cada série usando o teste da razão, que diz que a série ∑a_n converge se lim_{n→∞}|a_{n+1}/a_n|<1.

Passo 2

Para a série sumn=1^inftyx^n2^n, considere an=dfracx^n2^n. Então
limntoinfty|an+1an|=limntoinfty|x|^n+1/2^n+1|x|^n/2^n=limntoinfty|x|2=|x|2

Passo 3

A condição de convergência é |x|2<1, ou seja |x|<2. Portanto o raio de convergência da primeira série é R1=2.

Passo 4

Agora para a série sumn=1^inftyx^2n2^n, aplique o mesmo teste com bn=dfracx^2n2^n. Então
limntoinfty|bn+1bn|=limntoinfty|x|^2(n+1)/2^n+1|x|^2n/2^n=limntoinfty|x|^22=|x|^22

Passo 5

A condição de convergência é |x|^22<1, ou seja |x|^2<2 e portanto |x|. Então o raio de convergência da segunda série é R2=raiz2.

Resposta

Os raios de convergência são R1 = 2 e R2 = raiz2.

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