Encontre a solução geral de cada equação diferencial abaixo (Material IME UERJ)
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial de primeira ordem
a partir do enunciado
Temos a EDO
Este é um caso de equação homogênea pois o termo do lado direito é homogêneo de grau 2 em
e
. Vamos usar a substituição clássica
e separação de variáveis.
Passo 2
Primeiro isolamos
para deixar a equação na forma padrão
Isso mostra que podemos aplicar a substituição homogênea sem dificuldades.
Passo 3
Fazendo a substituição
substituímos em
e obtemos
Reorganizando, fica
Passo 4
Agora separamos variáveis:
Integramos os dois lados:
No lado esquerdo fazemos a troca
,
, logo
No lado direito
Passo 5
Igualando as integrais e recolhendo constantes:
onde
. Multiplicando por 4 e exponenciando:
Voltando a
:
Passo 6
Multiplicando ambos os lados por
e reorganizando em termos de
, obtemos a forma implícita da solução geral:
onde
é a constante de integração arbitrária.
Resposta
A solução geral é dada implicitamente por
com
constante arbitrária.