Encontre a solução geral de cada equação diferencial abaixo (Material IME UERJ)
x y y^prime=x^2+3 y^2

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial de primeira ordem
a partir do enunciado
Temos a EDO
x,y,y'=x^2+3y^2
Este é um caso de equação homogênea pois o termo do lado direito é homogêneo de grau 2 em x e y. Vamos usar a substituição clássica v=y/x e separação de variáveis.

Passo 2

Primeiro isolamos y' para deixar a equação na forma padrão
y'=x^2+3y^2xy=xy+3,yx
Isso mostra que podemos aplicar a substituição homogênea sem dificuldades.

Passo 3

Fazendo a substituição
v=yx, y=vx, y'=v+xdvdx,
substituímos em y'=xy+3,yx e obtemos
v+xdvdx=1v+3v
Reorganizando, fica
xdvdx=1+2v^2v

Passo 4

Agora separamos variáveis:
v1+2v^2,dv=dxx
Integramos os dois lados:
integralv1+2v^2,dv=integraldxx
No lado esquerdo fazemos a troca u=1+2v^2, du=4v,dv, logo
integralv1+2v^2,dv=14integralduu=14ln|u|+C1=14ln|1+2v^2|+C1
No lado direito integral dx/x=ln|x|+C2

Passo 5

Igualando as integrais e recolhendo constantes:
14ln|1+2v^2|=ln|x|+C,
onde C=C2-C1. Multiplicando por 4 e exponenciando:
ln|1+2v^2|=4ln|x|+4C=ln|x^4|+ln|e^4C|
1+2v^2x^4=K, K constante não nulaã
Voltando a v=y/x:
1+2(y/x)^2x^4=K

Passo 6

Multiplicando ambos os lados por x^4 e reorganizando em termos de y, obtemos a forma implícita da solução geral:
x^2+2y^2=K,x^6,
onde K é a constante de integração arbitrária.

Resposta

A solução geral é dada implicitamente por
x^2+2y^2=C,x^6,
com C constante arbitrária.

Exercícios relacionados