Equação de Clairaut.
Mostre que uma solução para a equação de Clairaut y=x y^prime+f(y^prime) é uma família de retas da forma y=c x+f(c), em que c é uma constante arbitrária e uma solução singular
Encontre as soluções gerais e singulares das seguintes equações de Clairaut.
y=x y^prime+1-ln (y^prime)

Passo 1

O enunciado pede para resolver uma equação de Clairaut do tipo y = x y' + f(y'). Vamos mostrar em geral que a solução é dada pela família de retas y = c x + f(c) e que existe também uma solução singular (envelope) obtida eliminando a constante.

Passo 2

A técnica padrão é diferenciar a equação original em relação a x. Como y'=dydx, diferenciando y = x y' + f(y')
dydx = y' = y' + x y'' + f'(y'),y''
Ou seja
0 = y''l(x + f'(y')r)
Isso mostra duas possibilidades: ou y''=0 (a família geral) ou x + f'(y')=0 (solução singular).

Passo 3

No caso y''=0 temos y'=c constante. Substituindo de volta em y = x y' + f(y') vem
y = c x + f(c),
que é a solução geral (cada reta corresponde a um c diferente).

Passo 4

Para a solução singular usamos x + f'(p)=0, onde definimos p=y'. Assim
x = -f'(p)
Substituindo esse x na equação original dá o envelope
y = x p + f(p)
com x expresso em termos de p. Eliminando p obtemos a curva singular.

Passo 5

Agora aplicamos isso ao caso f(p)=1-ln p. Calculamos
f'(p) = -1p
Então a solução geral é
y = c x + 1 - ln c,
onde c>0 é a constante y'.

Passo 6

Para a solução singular resolvemos
x = -f'(p) = -l(-1pr) = 1p,
logo p=1/x. Substituindo em y= x p +1-ln p vem
y = x1x + 1 - lnl(1/xr) = 1 + 1 + ln x = 2 + ln x

Resposta

A solução geral é
y = c x + 1 - ln c, c>0,
e a solução singular (envelope) é
y = 2 + ln x

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