Equação de Clairaut.
Mostre que uma solução para a equação de Clairaut
é uma família de retas da forma
, em que
é uma constante arbitrária e uma solução singular
Encontre as soluções gerais e singulares das seguintes equações de Clairaut.
Mostre que uma solução para a equação de Clairaut
Encontre as soluções gerais e singulares das seguintes equações de Clairaut.
Passo 1
O enunciado pede para resolver uma equação de Clairaut do tipo
. Vamos mostrar em geral que a solução é dada pela família de retas
e que existe também uma solução singular (envelope) obtida eliminando a constante.
Passo 2
A técnica padrão é diferenciar a equação original em relação a
. Como
, diferenciando
dá
Ou seja
Isso mostra duas possibilidades: ou
(a família geral) ou
(solução singular).
Passo 3
No caso
temos
constante. Substituindo de volta em
vem
que é a solução geral (cada reta corresponde a um
diferente).
Passo 4
Para a solução singular usamos
, onde definimos
. Assim
Substituindo esse
na equação original dá o envelope
com
expresso em termos de
. Eliminando
obtemos a curva singular.
Passo 5
Agora aplicamos isso ao caso
. Calculamos
Então a solução geral é
onde
é a constante
.
Passo 6
Para a solução singular resolvemos
logo
. Substituindo em
vem
Resposta
A solução geral é
e a solução singular (envelope) é