Calcule a raiz cúbica do número 19 com 5 casas decimais de precisão.
Passo 1
O que o problema pede e o que foi dado.
- Pedido: calcular a raiz cúbica do número
com precisão de casas decimais (ou seja, determinar com erro tal que a representação arredondada a 5 casas decimais seja correta). - Informação útil imediata: a raiz cúbica
é a solução da equação
- Observação simples (para ter um intervalo inicial):
, logo está no intervalo .
Passo 2
Como vamos garantir “5 casas decimais” e qual tolerância usar.
- Para que o valor arredondado a
casas decimais seja correto, basta encontrar um intervalo de largura menor que centrado no valor verdadeiro ou, mais comumente, encontrar um valor aproximado com erro absoluto menor que . Assim, o critério de parada será reduzir o comprimento do intervalo que contém a raiz a menos de . - Método escolhido: bissecção (muito seguro para funções monotônicas). Aqui
é contínua e estritamente crescente, então bissecção funciona bem e os cálculos (potências) são fáceis de fazer à mão.
Passo 3
Primeira aproximação e teste inicial.
- Começamos com o intervalo
. Calculamos os cubos em pontos intermediários para estreitar o intervalo até a tolerância pedida.
Calculei estes valores fundamentais:
logo a raiz está em
.
Passo 4
Refinamento por bissecção — iteração 1: dividir
em dois.
- Ponto médio:
. então a raiz está em .
Passo 5
Continuamos subdividindo até uma faixa pequena: iterações que nos aproximam de
Vou pular algumas divisões grossas e focar onde a raíz realmente se encontra (entre
e
) — mostro os cálculos relevantes e como fazer as potências à mão.
-
CalculeiPrimeiro
(pois e desloca-se a vírgula). Em seguida Conclusão:. -
Também calculeiConclusão:
.
(Comentário prático: as multiplicações usadas acima podem ser feitas por distribuição:
; para
multiplicar inteiros e ajustar vírgula.)
Passo 6
Bissecção detalhada na faixa
.
- Meio:
.
Logo a raiz está em
.
- Meio de
: .
Logo agora
.
Passo 7
Continuar dividindo até acharmos um intervalo com largura menor que
.
- Meio de
: .
Portanto a raiz está em
.
- Meio de
: .
Agora
.
Passo 8
Diminuindo ainda mais o intervalo.
- Meio de
: .
Assim
.
- Meio de
: .
Logo
.
Observação: o comprimento do intervalo atual é
Ainda é maior que a tolerância
, então continuamos.
Passo 9
Mais uma divisão para ficar dentro da tolerância.
- Meio de
: .
- Interpolando os valores anteriores (ou calculando diretamente) obtém-se
Portanto a raiz está em
.
- Meio de
: .
- Novamente por interpolação/conta direta:
Logo a raiz está em
.
Agora o comprimento do intervalo é
ou seja, menor que a tolerância
. Assim já podemos arredondar com segurança à quinta casa decimal.
Passo 10
Arredondamento final e resultado com 5 casas decimais.
- O intervalo final que contém
é . Todos os pontos deste intervalo são maiores que (o limiar de arredondamento entre e ), portanto o valor arredondado a 5 casas decimais é