Calcule a raiz cúbica do número 19 com 5 casas decimais de precisão.

Passo 1

O que o problema pede e o que foi dado.
  • Pedido: calcular a raiz cúbica do número 19 com precisão de 5 casas decimais (ou seja, determinar \sqrt[3]{19} com erro tal que a representação arredondada a 5 casas decimais seja correta).
  • Informação útil imediata: a raiz cúbica \sqrt[3]{19} é a solução da equação
x^{3}=19.
  • Observação simples (para ter um intervalo inicial): 2^{3}=8<19<27=3^{3}, logo \sqrt[3]{19} está no intervalo (2,3).

Passo 2

Como vamos garantir “5 casas decimais” e qual tolerância usar.
  • Para que o valor arredondado a 5 casas decimais seja correto, basta encontrar um intervalo de largura menor que 10^{-5} centrado no valor verdadeiro ou, mais comumente, encontrar um valor aproximado com erro absoluto menor que 0{,}5\times10^{-5}=0{,}000005. Assim, o critério de parada será reduzir o comprimento do intervalo que contém a raiz a menos de 0{,}000005.
  • Método escolhido: bissecção (muito seguro para funções monotônicas). Aqui f(x)=x^{3}-19 é contínua e estritamente crescente, então bissecção funciona bem e os cálculos (potências) são fáceis de fazer à mão.

Passo 3

Primeira aproximação e teste inicial.
  • Começamos com o intervalo [2,3]. Calculamos os cubos em pontos intermediários para estreitar o intervalo até a tolerância pedida.
Calculei estes valores fundamentais:
2^{3}=8<19,\qquad 3^{3}=27>19,
logo a raiz está em [2,3].

Passo 4

Refinamento por bissecção — iteração 1: dividir [2,3] em dois.
  • Ponto médio: 2{,}5. 2{,}5^{3}=15{,}625<19,então a raiz está em [2{,}5,3].

Passo 5

Continuamos subdividindo até uma faixa pequena: iterações que nos aproximam de 2{,}668\dots
Vou pular algumas divisões grossas e focar onde a raíz realmente se encontra (entre 2{,}668 e 2{,}669) — mostro os cálculos relevantes e como fazer as potências à mão.
  • Calculei
    2{,}668^{3}=2{,}668^{2}\cdot2{,}668.
    Primeiro 2{,}668^{2}=7{,}118224 (pois 2668^{2}=7\,118\,224 e desloca-se a vírgula). Em seguida
    2{,}668^{3}=7{,}118224\times2{,}668=18{,}991421632.
    Conclusão: 2{,}668^{3}=18{,}991421632<19.
  • Também calculei
    2{,}669^{3}=7{,}123561\times2{,}669=19{,}012784309>19.
    Conclusão: \sqrt[3]{19}\in[2{,}668,\,2{,}669].
(Comentário prático: as multiplicações usadas acima podem ser feitas por distribuição: a^{3}=a^{2}\cdot a; para a^{2} multiplicar inteiros e ajustar vírgula.)

Passo 6

Bissecção detalhada na faixa [2{,}668,\,2{,}669].
  1. Meio: 2{,}6685.
2{,}6685^{2}\approx7{,}12089225,\qquad 2{,}6685^{3}\approx19{,}002100969125>19.
Logo a raiz está em [2{,}668,\,2{,}6685].
  1. Meio de [2{,}668,\,2{,}6685]: 2{,}66825.
2{,}66825^{3}\approx18{,}996760800265625<19.
Logo agora \sqrt[3]{19}\in[2{,}66825,\,2{,}6685].

Passo 7

Continuar dividindo até acharmos um intervalo com largura menor que 0{,}000005.
  1. Meio de [2{,}66825,\,2{,}6685]: 2{,}668375.
2{,}668375^{3}\approx18{,}999430759515234<19.
Portanto a raiz está em [2{,}668375,\,2{,}6685].
  1. Meio de [2{,}668375,\,2{,}6685]: 2{,}6684375.
2{,}6684375^{3}\approx19{,}000765833099365>19.
Agora \sqrt[3]{19}\in[2{,}668375,\,2{,}6684375].

Passo 8

Diminuindo ainda mais o intervalo.
  1. Meio de [2{,}668375,\,2{,}6684375]: 2{,}66840625.
2{,}66840625^{3}\approx19{,}000097657914078>19.
Assim \sqrt[3]{19}\in[2{,}668375,\,2{,}66840625].
  1. Meio de [2{,}668375,\,2{,}66840625]: 2{,}668390625.
2{,}668390625^{3}\approx18{,}999764208\\ (<19).
Logo \sqrt[3]{19}\in[2{,}668390625,\,2{,}66840625].
Observação: o comprimento do intervalo atual é
2{,}66840625-2{,}668390625=0{,}000015625.
Ainda é maior que a tolerância 0{,}000005, então continuamos.

Passo 9

Mais uma divisão para ficar dentro da tolerância.
  1. Meio de [2{,}668390625,\,2{,}66840625]: 2{,}6683984375.
  • Interpolando os valores anteriores (ou calculando diretamente) obtém-se
2{,}6683984375^{3}\approx18{,}9999309333\\ (<19).
Portanto a raiz está em [2{,}6683984375,\,2{,}66840625].
  1. Meio de [2{,}6683984375,\,2{,}66840625]: 2{,}66840234375.
  • Novamente por interpolação/conta direta:
2{,}66840234375^{3}\approx19{,}0000142956\\ (>19).
Logo a raiz está em [2{,}6683984375,\,2{,}66840234375].
Agora o comprimento do intervalo é
2{,}66840234375-2{,}6683984375=0{,}00000390625<0{,}000005,
ou seja, menor que a tolerância 0{,}000005. Assim já podemos arredondar com segurança à quinta casa decimal.

Passo 10

Arredondamento final e resultado com 5 casas decimais.
  • O intervalo final que contém \sqrt[3]{19} é [2{,}6683984375,\;2{,}66840234375]. Todos os pontos deste intervalo são maiores que 2{,}668395 (o limiar de arredondamento entre 2{,}66839 e 2{,}66840), portanto o valor arredondado a 5 casas decimais é
2{,}66840.

Resposta

2{,}66840

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