(Dica: A região agora é um quarto de círculo de raio 2).
Passo 1
O enunciado dá a integral dupla
\int_{0}^{2} \int_{0}^{\sqrt{4-y^{2}}} y\, dx\, dy
e diz que a região de integração é um quarto de círculo de raio 2 (primeiro quadrante, com x\ge0, y\ge0, e x^{2}+y^{2}\le4).
O que é pedido: calcular o valor numérico da integral dupla acima.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Limites externos: y varia de 0 a 2.
Limites internos: para cada y, x varia de 0 a \sqrt{4-y^{2}}.
Integrando: a função a integrar é y (note que, na integração interna em x, y é tratada como constante).
Passo 2
Primeiro passo do cálculo prático: calcular a integral interna em x, tratando y como constante. A integral interna é
\int_{0}^{\sqrt{4-y^{2}}} y\, dx.
Explicação didática: quando integramos em x uma função que não depende de x (aqui a dependência é só em y), podemos tirar essa constante para fora da integral. Assim,
\int_{0}^{\sqrt{4-y^{2}}} y\, dx = y \int_{0}^{\sqrt{4-y^{2}}} dx.
A integral de dx de 0 a \sqrt{4-y^{2}} é simplesmente o comprimento do intervalo, isto é \sqrt{4-y^{2}}-0=\sqrt{4-y^{2}}. Portanto
Substituir o resultado da integral interna na integral externa. Agora precisamos calcular
\int_{0}^{2} y\,\sqrt{4-y^{2}}\, dy.
Explicação do método escolhido: isto é uma integral de uma função de uma variável (apenas em y). Um recurso muito eficaz é a substituição u-substituição, escolhendo u de modo que a raiz fique simples. Aqui, escolhe-se
u = 4 - y^{2}.
Calculamos a diferencial:
du = -2y\, dy \quad\Rightarrow\quad y\, dy = -\frac{1}{2}\,du.
Também trocamos os limites de integração: quando y=0 temos u=4; quando y=2 temos u=4-2^{2}=0.
Passo 4
Fazer a substituição na integral:
\int_{0}^{2} y\,\sqrt{4-y^{2}}\, dy = \int_{y=0}^{y=2} y\, (4-y^{2})^{1/2}\, dy = \int_{u=4}^{u=0} (u)^{1/2}\left(-\tfrac{1}{2}\,du\right).
O sinal negativo inverte os limites, então fica
\int_{u=4}^{u=0} -\tfrac{1}{2} u^{1/2}\, du = \tfrac{1}{2}\int_{u=0}^{u=4} u^{1/2}\, du.
Agora calculamos a antiderivada de u^{1/2}: uma primitiva é \tfrac{2}{3}u^{3/2}. Portanto
\tfrac{1}{2}\int_{0}^{4} u^{1/2}\, du = \tfrac{1}{2}\left[\tfrac{2}{3}u^{3/2}\right]_{0}^{4} = \tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{2}{3}\left(4^{3/2}-0\right) = \tfrac{1}{3}\cdot 4^{3/2}.
Calcule 4^{3/2}: primeiro 4^{1/2}=2, então 4^{3/2}=(4^{1/2})^{3}=2^{3}=8. Logo
Verificação alternativa (opcional, para ganhar confiança): usar coordenadas polares, que geralmente são naturais para regiões circulares. Em coordenadas polares tem-se x=r\cos\theta,\; y=r\sin\theta e o elemento de área é dA = r\,dr\,d\theta. A região é 0\le \theta\le \tfrac{\pi}{2} e 0\le r\le 2. A integral fica
Calcule separadamente: \int_{0}^{\pi/2}\sin\theta\, d\theta = 1 e \int_{0}^{2} r^{2}\, dr = \tfrac{1}{3}r^{3}\big|_{0}^{2}=\tfrac{8}{3}. Multiplicando dá 1\cdot \tfrac{8}{3}=\tfrac{8}{3}, mesmo resultado — bom sinal de que o cálculo está correto.