Seja h(x)=x^{2}+x-1. Qual função iteração, além da de NewtonRaphson, pode levar com certeza a um zero da h ? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá a função h(x)=x^{2}+x-1 e pergunta: qual função de iteração, diferente da de Newton–Raphson, pode levar com certeza a um zero de h? Deve-se justificar a resposta.
Informações relevantes do enunciado:
  • A função alvo é h(x)=x^{2}+x-1.
  • Quer-se uma função de iteração g tal que, ao iterar x_{n+1}=g(x_n), a sequência convirja com certeza a uma raiz de h (ou seja, garantia rigorosa de convergência).
  • Não é pedido usar Newton–Raphson; escolher outra estratégia (por exemplo, ponto fixo com o teorema do ponto fixo de Banach).

Passo 2

Transformar a equação h(x)=0 numa forma de ponto fixo. Se x é raiz de h então
x^{2}+x-1=0\quad\Longleftrightarrow\quad x^2+x=1\quad\Longleftrightarrow\quad x=\frac{1}{1+x}.
Portanto uma escolha natural de iteração por ponto fixo é
g(x)=\frac{1}{1+x},
pois os pontos fixos de g (soluções de x=g(x)) coincidem exatamente com as raízes de h.

Passo 3

Explicar o critério que dá “certeza” de convergência: o Teorema do Ponto Fixo de Banach. Em palavras simples:
  • Se g é uma função definida num intervalo fechado I=[a,b] e satisfaz duas propriedades:
    1. g(I)\subset I (ou seja, g mapeia o intervalo nele próprio);
    2. g é uma contração em I, isto é, existe L com 0\le L<1 tal que |g(x)-g(y)|\le L|x-y| para todo x,y\in I;
      então g tem exatamente um ponto fixo em I e, para qualquer x_0\in I, a sequência x_{n+1}=g(x_n) converge (linearmente) para esse ponto fixo.
      Para verificar contração é prático usar a derivada: se g é diferenciável em I e \sup_{x\in I}|g'(x)|=L<1, então g é contração com constante L.

Passo 4

Calcular a derivada de g e analisar seu módulo:
g(x)=\frac{1}{1+x}\quad\Longrightarrow\quad g'(x)=-\frac{1}{(1+x)^{2}}.
Logo
|g'(x)|=\frac{1}{(1+x)^{2}}.
Para usar Banach precisamos escolher um intervalo I que contenha a raiz desejada e em que \sup_{I}|g'|<1 e g(I)\subset I.

Passo 5

Escolher um intervalo conveniente que contenha a raiz positiva. As raízes de h são
x=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}.
A raiz positiva é \dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}\approx0,618. Vamos tomar o intervalo
I=\left[\tfrac{1}{2},1\right].
Verificações:
  1. Imagem g(I). Como g é decrescente em \mathbb{R} (pois g'<0), tem-se
g\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=\frac{1}{1+\tfrac{1}{2}}=\frac{2}{3},\qquad g(1)=\frac{1}{2}.
Então
g(I)=\left[g(1),g\!\left(\tfrac{1}{2}\right)\right]=\left[\tfrac{1}{2},\tfrac{2}{3}\right]\subset\left[\tfrac{1}{2},1\right]=I.
Portanto g(I)\subset I.
  1. Constante de contração L. Para x\in I temos 1+x\ge 1+\tfrac{1}{2}=\tfrac{3}{2}, então
|g'(x)|=\frac{1}{(1+x)^{2}}\le\frac{1}{\left(\tfrac{3}{2}\right)^{2}}=\frac{4}{9}.
Assim \displaystyle L:=\sup_{x\in I}|g'(x)|\le \tfrac{4}{9}<1. Logo g é uma contração em I com constante L\le\tfrac{4}{9}.

Passo 6

Aplicar o Teorema do Ponto Fixo de Banach: como g(I)\subset I e \sup_{I}|g'|<1, existe um único ponto fixo de g em I e, para qualquer x_{0}\in I, a iteração x_{n+1}=g(x_n) converge para esse ponto fixo. Como os pontos fixos de g são exatamente as raízes de h, o limite é a raiz positiva \dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}. Portanto, com certeza (i.e., garantido pelo teorema) a sequência converge para essa raiz desde qualquer chute inicial em I.
Também vale comentar o comportamento: a taxa de convergência é linear com razão (no máximo) L\le\tfrac{4}{9}, ou seja, o erro diminui aproximadamente por um fator \tfrac{4}{9} a cada iteração (aplicando o majorante).

Passo 7

Exemplo numérico rápido para ganhar intuição (apenas ilustrativo):
Tomando x_{0}=\tfrac{2}{3}\in I,
x_{1}=g\!\left(\tfrac{2}{3}\right)=\frac{1}{1+\tfrac{2}{3}}=\frac{3}{5}=0{,}6,
x_{2}=g(0{,}6)=\frac{1}{1+0{,}6}=\frac{1}{1{,}6}=0{,}625,
e assim por diante; os valores vão aproximando de 0{,}618\ldots (a raiz positiva). Isso mostra concretamente a convergência prática e compatível com a garantia teórica.

Resposta

Uma escolha eficaz é g(x)=\dfrac{1}{1+x}. Em particular, em I=\left[\tfrac{1}{2},1\right] tem-se g(I)\subset I e \sup_{x\in I}|g'(x)|\le\tfrac{4}{9}<1, logo g é uma contração e a iteração x_{n+1}=g(x_n) converge, para qualquer x_0\in I, ao zero \dfrac{-1+\sqrt{5}}{2} de h.

Exercícios relacionados