Seja
. Qual função iteração, além da de NewtonRaphson, pode levar com certeza a um zero da
? Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pergunta: qual função de iteração, diferente da de Newton–Raphson, pode levar com certeza a um zero de
? Deve-se justificar a resposta.
Informações relevantes do enunciado:
Informações relevantes do enunciado:
- A função alvo é
. - Quer-se uma função de iteração
tal que, ao iterar , a sequência convirja com certeza a uma raiz de (ou seja, garantia rigorosa de convergência). - Não é pedido usar Newton–Raphson; escolher outra estratégia (por exemplo, ponto fixo com o teorema do ponto fixo de Banach).
Passo 2
Transformar a equação
numa forma de ponto fixo. Se
é raiz de
então
Portanto uma escolha natural de iteração por ponto fixo é
pois os pontos fixos de
(soluções de
) coincidem exatamente com as raízes de
.
Passo 3
Explicar o critério que dá “certeza” de convergência: o Teorema do Ponto Fixo de Banach. Em palavras simples:
- Se
é uma função definida num intervalo fechado e satisfaz duas propriedades: -
(ou seja, mapeia o intervalo nele próprio); -
é uma contração em , isto é, existe com tal que para todo ;
entãotem exatamente um ponto fixo em e, para qualquer , a sequência converge (linearmente) para esse ponto fixo.
Para verificar contração é prático usar a derivada: seé diferenciável em e , então é contração com constante .
-
Passo 4
Calcular a derivada de
e analisar seu módulo:
Logo
Para usar Banach precisamos escolher um intervalo
que contenha a raiz desejada e em que
e
.
Passo 5
Escolher um intervalo conveniente que contenha a raiz positiva. As raízes de
são
A raiz positiva é
. Vamos tomar o intervalo
Verificações:
- Imagem
. Como é decrescente em (pois ), tem-se
Então
Portanto
.
- Constante de contração
. Para temos , então
Assim
. Logo
é uma contração em
com constante
.
Passo 6
Aplicar o Teorema do Ponto Fixo de Banach: como
e
, existe um único ponto fixo de
em
e, para qualquer
, a iteração
converge para esse ponto fixo. Como os pontos fixos de
são exatamente as raízes de
, o limite é a raiz positiva
. Portanto, com certeza (i.e., garantido pelo teorema) a sequência converge para essa raiz desde qualquer chute inicial em
.
Também vale comentar o comportamento: a taxa de convergência é linear com razão (no máximo)
, ou seja, o erro diminui aproximadamente por um fator
a cada iteração (aplicando o majorante).
Passo 7
Exemplo numérico rápido para ganhar intuição (apenas ilustrativo):
Tomando ,
Tomando
e assim por diante; os valores vão aproximando de
(a raiz positiva). Isso mostra concretamente a convergência prática e compatível com a garantia teórica.
Resposta
Uma escolha eficaz é
. Em particular, em
tem-se
e
, logo
é uma contração e a iteração
converge, para qualquer
, ao zero
de
.